[JSOI2009]游戏

VII.[JSOI2009]游戏

这个游♂戏好恶心……

首先，奇偶建图（黑白染色）是肥肠明显的，都是老套路了。

然后呢？

然后就不知道了呀！我没学过博弈论呀！

我们发现，如果我们在黑白染色出的二分图里面跑一个最大匹配，那么，从任何一个非匹配点出发，因为不会存在匹配边、非匹配边交错的路径，则先手一定会多走一步。相反，从一个匹配点出发，则后手会多走一步。

那么，我们只要跑一次最大匹配，找出所有非匹配点即可。

等等，这不对！因为最大匹配不止一个，在不同的最大匹配中可能非匹配点也不同！也就是说，我们要找出所有二分图最大匹配“非必须点”的集合，即“必须点”的补集。

我们看一下一开始不正确的写法：

for(int i=head[S];i!=-1;i=edge[i].next)if(edge[i].val)v.push_back(make_pair(edge[i].to/m+1,edge[i].to%m+1));
for(int i=head[T];i!=-1;i=edge[i].next)if(!edge[i].val)v.push_back(make_pair(edge[i].to/m+1,edge[i].to%m+1));

那么正确的写法呢？

这就是不会匈牙利算法最伤的一点：用匈牙利非常好证明的结论，网络流就不好证明。

我们从\(S\)出发，搜出任意一条匹配边、非匹配边交错的增广路。因为已经是最大匹配了，则增广路的终点肯定还是\(S\)侧的节点，而不是有用的\(T\)侧节点。不过，我们仍然可以接着这个增广路翻一下，让所有增广路上的节点都变成非匹配点。

\(T\)出发也同理。

代码：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n,m,dx[4]={1,0,-1,0},dy[4]={0,1,0,-1},tot;
namespace MaxFlow{
	const int N=10100,M=2010000;
	int head[N],cur[N],dep[N],cnt,S,T,res;
	struct node{
		int to,next,val;
	}edge[M];
	void ae(int u,int v,int w){
		edge[cnt].next=head[u],edge[cnt].to=v,edge[cnt].val=w,head[u]=cnt++;
		edge[cnt].next=head[v],edge[cnt].to=u,edge[cnt].val=0,head[v]=cnt++;
	}
	queue<int>q;
	inline bool bfs(){
		memset(dep,0,sizeof(dep)),q.push(S),dep[S]=1;
		while(!q.empty()){
			register int x=q.front();q.pop();
			for(register int i=cur[x]=head[x];i!=-1;i=edge[i].next)if(edge[i].val&&!dep[edge[i].to])dep[edge[i].to]=dep[x]+1,q.push(edge[i].to);
		}
		return dep[T]>0;
	}
	bool reach;
	inline int dfs(int x,int flow){
		if(x==T){
			res+=flow;
			reach=true;
			return flow;
		}
		int used=0;
		for(register int &i=cur[x];i!=-1;i=edge[i].next){
			if(!edge[i].val||dep[edge[i].to]!=dep[x]+1)continue;
			register int ff=dfs(edge[i].to,min(edge[i].val,flow-used));
			if(ff){
				edge[i].val-=ff;
				edge[i^1].val+=ff;
				used+=ff;
				if(used==flow)break;
			}
		}
		return used;
	}
	inline void Dinic(){
		while(bfs()){
			reach=true;
			while(reach)reach=false,dfs(S,0x3f3f3f3f);
		}
	}
}
using namespace MaxFlow;
char s[110][110];
bool ok[10010],dir[10010],vis[10010];
void DFS(int x,int sd){
	if(vis[x])return;vis[x]=true;
	if(dir[x]==sd)ok[x]=true;
	for(int i=head[x];i!=-1;i=edge[i].next)if(edge[i].val==sd)DFS(edge[i].to,sd);
}
int main(){
	scanf("%d%d",&n,&m),memset(head,-1,sizeof(head)),S=n*m,T=n*m+1;
	for(int i=0;i<n;i++)scanf("%s",s[i]);
	for(int i=0;i<n;i++)for(int j=0;j<m;j++){
		if(s[i][j]=='#')continue;
		if((i+j)&1){ae(i*m+j,T,1);continue;}
		ae(S,i*m+j,1),dir[i*m+j]=1;
		for(int k=0;k<4;k++)if(i+dx[k]<n&&i+dx[k]>=0&&j+dy[k]<m&&j+dy[k]>=0&&s[i+dx[k]][j+dy[k]]!='#')ae(i*m+j,(i+dx[k])*m+(j+dy[k]),1);
	}
	Dinic();
	memset(vis,false,sizeof(vis)),DFS(S,1);
	memset(vis,false,sizeof(vis)),DFS(T,0);
	for(int i=0;i<S;i++)tot+=ok[i]; 
	if(!tot)puts("LOSE");
	else puts("WIN");
	for(int i=0;i<S;i++)if(ok[i])printf("%d %d\n",i/m+1,i%m+1);
	return 0;
}