【模板】常系数齐次线性递推

XXVII.【模板】常系数齐次线性递推

题意：已知$f_0,\dots,f_{m-1}$，且对于$k\geq m$，有

$$f_k=\sum\limits_{i=1}^ma_if_{k-i}$$

其中$a_1,\dots,a_m$是给定的系数。

求$f_n$。

我们一个naive的思路就是矩阵快速幂。

考虑设$m$阶向量

$$\mathbf{V}=\left[\begin{matrix}f_0\\\vdots\\f_{m-1}\end{matrix}\right]$$

再设矩阵$\mathrm{A}$为构造出来的转移矩阵。

则有

$$f_n=(\mathbf{V}\mathrm{A}^n)_0$$

这个复杂度是$O(m^3\log n)$，无法承受。

我们假设我们已经通过魔法找到了一组$c_0,\dots,c_{m-1}$使得

$$\mathrm{A}^n=\sum\limits_{i=0}^{m-1}c_i\mathrm{A}^i$$

则两边同时乘上$\mathbf{V}$，得到

$$\mathbf{V}\mathrm{A}^n=\sum\limits_{i=0}^{m-1}c_i\mathbf{V}\mathrm{A}^i$$

因为我们只考虑求出$f_n$即$(\mathbf{V}\mathrm{A}^n)_0$，所以我们在上式中也只需考虑$0$一位即可。

于是

$$(\mathbf{V}\mathrm{A}^n)_0=\sum\limits_{i=0}^{m-1}c_i(\mathbf{V}\mathrm{A}^i)_0$$

即

$$f_n=\sum\limits_{i=0}^{m-1}c_if_i$$

则我们现在的目标就变成求出这样一组$c$出来。

我们设一个矩阵函数$C(\mathrm{A})=\sum\limits_{i=0}^{m-1}c_i\mathrm{A}^i=\mathrm{A}^n$。

显然两边次数不等，不好求出。我们考虑另外找三个多项式$Q,G,R$，满足

$$\mathrm{A}^n=(QG)(\mathrm{A})+R(\mathrm{A})$$

即多项式除法的形式。则应有$R$的次数小于$G$的次数。

如果$G$的次数是$m$的话，就可以变成如下形式

$$\mathrm{A}^n=(QG)(\mathrm{A})+\sum\limits_{i=0}^{m-1}r_i\mathrm{A}^i$$

此时，如果我们可以幸运地发现有$G(\mathrm{A})=\mathrm{0}$的话，最终就有

$$\mathrm{A}^n=R(\mathrm{A})=C(\mathrm{A})$$

但真有这种好事吗？

我们考虑，有

$$\mathrm{A}=\begin{bmatrix}0,1,0,0,\dots,0\\0,0,1,0,\dots,0\\0,0,0,1,\dots,0\\\vdots\\0,0,0,0,\dots,1\\a_m,a_{m-1}\dots,a_1\end{bmatrix}$$

我们发现，假如

$$g_i=-a_{m-i},g_m=1$$

的话，恰有$G(\mathrm{A})=0$。

故我们只需要得到$G$后，计算

$$\mathrm{A}^n\bmod{G}$$

即可得到$C$。

多项式取模可以用多项式除法魔改得到。然后套上一个快速幂即可。

时间复杂度$O(m\log m\log n)$。

代码：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int mod=998244353;
const int N=1<<20;
int ksm(int x,int y){
	int rt=1;
	for(;y;x=(1ll*x*x)%mod,y>>=1)if(y&1)rt=(1ll*rt*x)%mod;
	return rt;
}
int n,m,f[N],g[N],invrevg[N],all,res;
namespace Poly{
	const int G=3;
	int rev[N],lim,invlim;
	void NTT(int *a,int tp){
		for(int i=0;i<lim;i++)if(i<rev[i])swap(a[i],a[rev[i]]);
		for(int md=1;md<lim;md<<=1){
			int rt=ksm(G,(mod-1)/(md<<1));
			if(tp==-1)rt=ksm(rt,mod-2);
			for(int stp=md<<1,pos=0;pos<lim;pos+=stp){
				int w=1;
				for(int i=0;i<md;i++,w=(1ll*w*rt)%mod){
					int x=a[pos+i],y=(1ll*w*a[pos+md+i])%mod;
					a[pos+i]=(x+y)%mod;
					a[pos+md+i]=(x-y+mod)%mod;
				}
			}
		}
		if(tp==-1)for(int i=0;i<lim;i++)a[i]=(1ll*a[i]*invlim)%mod;
	}
	int A[N],B[N],C[N],D[N],E[N];
	void mul(int *a,int *b,int *c,int LG=-1){//using: Array A and B
		if(LG!=-1){
			lim=(1<<LG),invlim=ksm(lim,mod-2);
			for(int i=0;i<lim;i++)rev[i]=(rev[i>>1]>>1)|((i&1)<<(LG-1));			
		}
		for(int i=0;i<lim;i++)A[i]=B[i]=0;
		for(int i=0;i<(lim>>1);i++)A[i]=a[i],B[i]=b[i];
		NTT(A,1),NTT(B,1);
		for(int i=0;i<lim;i++)A[i]=1ll*A[i]*B[i]%mod;
		NTT(A,-1);
		for(int i=0;i<lim;i++)c[i]=A[i];
	}
	void inv(int *a,int *b,int LG){//using: Array C
		b[0]=ksm(a[0],mod-2);
		for(int k=1;k<=LG+1;k++){
			mul(b,a,C,k);
			for(int i=0;i<(1<<k);i++)C[i]=(mod-C[i])%mod;
			(C[0]+=2)%=mod;
			mul(C,b,b,k);
		}
	}
	void rever(int *a,int *b,int lim){
		for(int i=0;i<lim;i++)b[i]=a[i];
		reverse(b,b+lim);
	}
	void modulo(int *a){//using:Array D
		rever(a,D,2*m);
		for(int i=m;i<lim;i++)D[i]=0;
		mul(D,invrevg,E);
		reverse(E,E+m);
		for(int i=m;i<lim;i++)E[i]=0;
		mul(E,g,D);
		for(int i=0;i<m;i++)a[i]=(a[i]-D[i]+mod)%mod;
		for(int i=m;i<lim;i++)a[i]=0;
	}
}
using namespace Poly;
int c[N],d[N];
void KSM(){
	c[1]=1,d[0]=1;
	for(;n;n>>=1,mul(c,c,c),modulo(c))if(n&1)mul(d,c,d),modulo(d);
}
int main(){
	scanf("%d%d",&n,&m);
	for(int i=1;i<=m;i++)scanf("%d",&g[m-i]),g[m-i]=-g[m-i];
	g[m]=1;
	for(int i=0;i<=m;i++)(g[i]+=mod)%=mod;
	for(int i=0;i<m;i++)scanf("%d",&f[i]),(f[i]+=mod)%=mod;
	while((1<<all)<(m<<1))all++;
	reverse(g,g+m+1);
	inv(g,invrevg,all);
	reverse(g,g+m+1);
	for(int i=m+1;i<(1<<all);i++)invrevg[i]=0;
	lim=(1<<all),invlim=ksm(lim,mod-2);
	for(int i=0;i<lim;i++)rev[i]=(rev[i>>1]>>1)|((i&1)<<(all-1)); 
	KSM();
	for(int i=0;i<m;i++)(res+=1ll*d[i]*f[i]%mod)%=mod;
	printf("%d\n",res);
	return 0;
}