【模板】多项式幂函数 (加强版)

VII.【模板】多项式幂函数 (加强版)

可以看到这题与上题的唯一区别就是\(a_0\)的取值。

因为我们之前在\(\ln\)的时候，是要求\(a_0=1\)的；而这题不保证\(a_0=1\)，咋办呢？

我们考虑到当\(a_0\neq0\)时，我们有

\[a^k=(\dfrac{a}{a_0})^k\times(a_0)^k \]

因此直接整个多项式除以\(a_0\)即可。（注意到这里\((a_0)^k\)上的\(k\)是应该对\(\varphi(998244353)\)取模的，但是我们上一个式子\(e^{k\ln a}\)中的\(k\)因为一开始不在常数的指数上，因此直接模\(998244353\)即可）。

而当\(a_0=0\)时，我们只需要找出次数最小的非零项\(a_px^p\)，然后整个多项式除以\(a_px^p\)并在最后乘回去即可。

注意特判当\(a_0=0\)且原本的\(k\)极大（指\(\geq n\)）时，前\(n\)项都会只剩下\(0\)！

代码：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=1<<20;
const int mod=998244353;
const int G=3;
int n,m,phim,rev[N],f[N],g[N],all;
bool exceed; 
int ksm(int x,int y){
	int rt=1;
	for(;y;x=(1ll*x*x)%mod,y>>=1)if(y&1)rt=(1ll*rt*x)%mod;
	return rt;
}
void NTT(int *a,int tp,int LG){
	int lim=(1<<LG),invlim=ksm(lim,mod-2);
	for(int i=0;i<lim;i++)rev[i]=(rev[i>>1]>>1)|((i&1)<<(LG-1));
	for(int i=0;i<lim;i++)if(i<rev[i])swap(a[i],a[rev[i]]);
	for(int md=1;md<lim;md<<=1){
		int rt=ksm(G,(mod-1)/(md<<1));
		if(tp==-1)rt=ksm(rt,mod-2);
		for(int stp=md<<1,pos=0;pos<lim;pos+=stp){
			int w=1;
			for(int i=0;i<md;i++,w=(1ll*w*rt)%mod){
				int x=a[pos+i],y=(1ll*w*a[pos+md+i])%mod;
				a[pos+i]=(x+y)%mod;
				a[pos+md+i]=(x-y+mod)%mod;
			}
		}
	}
	if(tp==-1)for(int i=0;i<lim;i++)a[i]=(1ll*a[i]*invlim)%mod;
}
int A[N],B[N],C[N],D[N],E[N];
void mul(int *a,int *b,int *c,int LG){//get a*b multiplied together in array c.(can be the same array)
	int lim=(1<<LG);
	for(int i=0;i<lim;i++)A[i]=B[i]=0;
	for(int i=0;i<(lim>>1);i++)A[i]=a[i],B[i]=b[i];
	NTT(A,1,LG),NTT(B,1,LG);
	for(int i=0;i<lim;i++)A[i]=1ll*A[i]*B[i]%mod;
	NTT(A,-1,LG);
	for(int i=0;i<lim;i++)c[i]=A[i];
}
void inv(int *a,int *b,int LG){//get a^{-1} in array b(CAN'T BE THE SAME ARRAY)
	b[0]=ksm(a[0],mod-2);
	for(int k=1;k<=LG+1;k++){
		mul(b,a,C,k);
		for(int i=0;i<(1<<k);i++)C[i]=(mod-C[i])%mod;
		(C[0]+=2)%=mod;
		mul(C,b,b,k);
	}
}
void diff(int *a,int *b,int lim){//get the diffentiated array of a in array b(can be the same array)
	for(int i=0;i<lim;i++)b[i]=1ll*a[i+1]*(i+1)%mod;
	b[lim-1]=0;
}
void inte(int *a,int *b,int lim){//get the intergrated array of a in array b(can be the same array)
	for(int i=lim-1;i;i--)b[i]=1ll*a[i-1]*ksm(i,mod-2)%mod;
	b[0]=0;
}
void ln(int *a,int *b,int LG){//get ln(a) in array b(CAN'T BE THE SAME ARRAY)
	inv(a,b,LG);
	diff(a,C,1<<LG);
	mul(b,C,b,LG+1);
	inte(b,b,1<<LG);
}
void exp(int *a,int *b,int LG){//get e^a in array b(CAN'T BE THE SAME ARRAY)
	b[0]=1;
	for(int k=1;k<=LG+1;k++){
		ln(b,D,k-1);
		for(int i=0;i<(1<<(k-1));i++)D[i]=(a[i]-D[i]+mod)%mod;
		D[0]=(D[0]+1)%mod;
//		for(int i=0;i<(1<<(k-1));i++)printf("%d ",D[i]);puts("");
		mul(b,D,b,k);
	}
}
void ksm(int *a,int k,int phik,int *b,int LG){//get a^k in array b(CAN'T BE THE SAME ARRAY)
	int stt=0,tmp=0,invtmp=0;
	while(!a[stt]&&stt<(1<<LG))stt++;
	if((stt&&exceed)||(1ll*stt*phik>=(1<<LG))){for(int i=0;i<(1<<LG);i++)b[i]=0;return;}
	tmp=a[stt],invtmp=ksm(tmp,mod-2);
	for(int i=stt;i<(1<<LG);i++)E[i-stt]=a[i];
	for(int i=(1<<LG)-stt;i<(1<<LG);i++)E[i]=0;
	for(int i=0;i<(1<<LG);i++)E[i]=1ll*E[i]*invtmp%mod;
	ln(E,b,LG);
	for(int i=0;i<(1<<LG);i++)E[i]=1ll*b[i]*k%mod;
	exp(E,b,LG);
	tmp=ksm(tmp,phik),stt*=phik;
	for(int i=0;i<(1<<LG);i++)b[i]=1ll*b[i]*tmp%mod;
	for(int i=(1<<LG)-1;i>=stt;i--)b[i]=b[i-stt];
	for(int i=stt-1;i>=0;i--)b[i]=0;
}
void getm(){
	m=phim=0;
	char ch=getchar();
	while(ch>'9'||ch<'0')ch=getchar();
	while(ch>='0'&&ch<='9'){
		if(10ll*m+ch-'0'>=(mod-1))exceed=true;
		m=(10ll*m+ch-'0')%mod,phim=(10ll*phim+ch-'0')%(mod-1),ch=getchar();
	}
} 
int main(){
	scanf("%d",&n),getm();
	for(int i=0;i<n;i++)scanf("%d",&f[i]);
	while((1<<all)<n)all++;
	ksm(f,m,phim,g,all);
	for(int i=0;i<n;i++)printf("%d ",g[i]);puts("");
	return 0;
}