【模板】多项式对数函数（多项式 ln）

III.【模板】多项式对数函数（多项式 ln）

这题大概不难吧（

我们已知\(B\equiv\ln(A)\)

于是两边求导，就有\(B'\equiv\ln'(A)\)。

右边套个链式求导法则，就等于\(\ln'(A)\equiv\dfrac{A'}{A}\)

于是\(B'\equiv\dfrac{A'}{A}\)

然后两边不定积分，就有

\(\int B'=\int\dfrac{A'}{A}\)

运用微积分基本定理，于是

\(B=\int\dfrac{A'}{A}\)

多项式的求导及积分都是非常轻松的，这里不再赘述。

代码：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=1<<20;
const int mod=998244353;
const int G=3;
int n,lim=1,LG,invlim,rev[N],f[N],g[N];
int ksm(int x,int y){
	int z=1;
	for(;y;y>>=1,x=1ll*x*x%mod)if(y&1)z=1ll*z*x%mod;
	return z;
}
void NTT(int *a,int tp){
	for(int i=0;i<lim;i++)if(rev[i]>i)swap(a[i],a[rev[i]]);
	for(int md=1;md<lim;md<<=1){
		int rt=ksm(G,(mod-1)/(md<<1));
		if(tp==-1)rt=ksm(rt,mod-2);
		for(int stp=(md<<1),pos=0;pos<lim;pos+=stp){
			int w=1;
			for(int i=0;i<md;i++,w=1ll*w*rt%mod){
				int x=a[pos+i],y=(1ll*w*a[pos+md+i])%mod;
				a[pos+i]=(x+y)%mod;
				a[pos+md+i]=(x+mod-y)%mod;
			}
		}
	}
	if(tp==-1)for(int i=0;i<lim;i++)a[i]=1ll*a[i]*invlim%mod;
}
int A[N],B[N],C[N];
void mul(int *a,int *b,int *c){
	for(int i=0;i<lim;i++)A[i]=B[i]=0;
	for(int i=0;i<(lim>>1);i++)A[i]=a[i],B[i]=b[i];
	NTT(A,1),NTT(B,1);
	for(int i=0;i<lim;i++)A[i]=1ll*A[i]*B[i]%mod;
	NTT(A,-1);
	for(int i=0;i<lim;i++)c[i]=A[i];
}
void inv(int *a,int *b){
	b[0]=ksm(a[0],mod-2);
	while(lim<(n<<1)){
		lim<<=1,LG++,invlim=ksm(lim,mod-2);
		for(int i=0;i<lim;i++)rev[i]=(rev[i>>1]>>1)|((i&1)<<(LG-1));
		mul(a,b,C);
		for(int i=0;i<lim;i++)C[i]=(mod-C[i])%mod;
		(C[0]+=2)%=mod;
		mul(C,b,b);
	}
}
void inte(int *a){
	for(int i=n-1;i;i--)a[i]=1ll*a[i-1]*ksm(i,mod-2)%mod;
	a[0]=0;
}
void diff(int *a){
	for(int i=0;i<n;i++)a[i]=1ll*a[i+1]*(i+1)%mod;
	a[n-1]=0;
}
int main(){
	scanf("%d",&n);
	for(int i=0;i<n;i++)scanf("%d",&f[i]);
	inv(f,g);
//	for(int i=0;i<n;i++)printf("%d ",f[i]);puts("");
//	for(int i=0;i<n;i++)printf("%d ",g[i]);puts("");
	diff(f);
	mul(g,f,g);
	inte(g);
	for(int i=0;i<n;i++)printf("%d ",g[i]);
	return 0;
}