【模板】多项式乘法逆

II.【模板】多项式乘法逆

$F\times G\equiv1(\operatorname{mod} x^n)$？这是啥意思？

实际上，它的意思就是$F\times G$的$1\sim n$次幂的系数都为$0$，只有常数项为$1$，再往上的系数不管。

我们考虑递推求解。

设我们已经求出了使$F\times G\equiv1(\operatorname{mod} x^m)$成立的一个$G$，我们现在要求出$\operatorname{mod}2m$成立的另一个$G$。设$g$表示第一个$G$。

我们已知

$$F\times g\equiv 1(\operatorname{mod}x^m)$$

又有

$$F\times G\equiv 1(\operatorname{mod}x^{2m})$$

则显然，

$$F\times G\equiv 1(\operatorname{mod}x^{m})$$

于是

$$F\times (G-g)\equiv 0(\operatorname{mod}x^{m})$$

$F$除过去，就有

$$G-g\equiv 0(\operatorname{mod}x^{m})$$

两边平方，于是

$$(G-g)^2\equiv 0(\operatorname{mod}x^{2m})\text{（注意这里的模数也跟着平了方）}$$

拆开，得到

$$G^2-2Gg+g^2\equiv 0(\operatorname{mod}x^{2m})$$

我们想尽量消去$G$，于是两边乘上$F$，就有

$$FG^2-2FGg+Fg^2\equiv 0(\operatorname{mod}x^{2m})$$

因为$FG\equiv 1$，所以

$$G-2g+Fg^2\equiv 0(\operatorname{mod}x^{2m})$$

移过去，就有

$$G\equiv 2g-Fg^2(\operatorname{mod}x^{2m})$$

稍微合并一下

$$G\equiv g(2-Fg)(\operatorname{mod}x^{2m})$$

这样我们就可以从$g$转移到$G$了，只需要两次NTT乘法即可。

$g$的初始值为$(F_0)^{-1}$，即$F_0$的逆元。然后，不断按照上式倍长长度，直到长度达到$F$的二倍即可（这个二倍是因为$F\times G$的长度是$2n$）。

我们分析一下复杂度。它为$\sum\limits_{i=2^k,i<2n}i\log i$。

我们换成枚举$\log i$，就变成了$\sum\limits_{i=0}^{\left\lceil\log n\right\rceil}2^ii$。

我们考虑适当的放缩，它可以变成$\sum\limits_{i=0}^{\left\lceil\log n\right\rceil}2^i\left\lceil\log n\right\rceil$。

因为$\sum\limits_{i=0}^{\left\lceil\log n\right\rceil}2^i$实际上就等于$2^{\left\lceil\log n\right\rceil+1}-1\approx n$

所以它实际复杂度就是$O(n\log n)$的。

代码：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=1<<20;
const int G=3;
const int mod=998244353;
int n,f[N],g[N],rev[N],lim=1,LG,h[N],invlim,A[N],B[N];
int ksm(int x,int y){
    int rt=1;
    for(;y;x=(1ll*x*x)%mod,y>>=1)if(y&1)rt=(1ll*rt*x)%mod;
    return rt;
}
void NTT(int *a,int tp){
    for(int i=0;i<lim;i++)if(i<rev[i])swap(a[i],a[rev[i]]);
    for(int md=1;md<lim;md<<=1){
        int rt=ksm(G,(mod-1)/(md<<1));
        if(tp==-1)rt=ksm(rt,mod-2);
        for(int stp=md<<1,pos=0;pos<lim;pos+=stp){
            int w=1;
            for(int i=0;i<md;i++,w=(1ll*w*rt)%mod){
                int x=a[pos+i],y=(1ll*w*a[pos+md+i])%mod;
                a[pos+i]=(x+y)%mod;
                a[pos+md+i]=(x-y+mod)%mod;
            }
        }
    }
    if(tp==-1)for(int i=0;i<lim;i++)a[i]=(1ll*a[i]*invlim)%mod;
}
void mul(int *a,int *b,int *c){
	for(int i=0;i<lim;i++)A[i]=B[i]=0;
	for(int i=0;i<(lim>>1);i++)A[i]=a[i],B[i]=b[i];
	NTT(A,1),NTT(B,1);
	for(int i=0;i<lim;i++)A[i]=1ll*A[i]*B[i]%mod;
	NTT(A,-1);
	for(int i=0;i<lim;i++)c[i]=A[i];
}
int main(){
	scanf("%d",&n);
	for(int i=0;i<n;i++)scanf("%d",&f[i]);
	g[0]=ksm(f[0],mod-2);
	while(lim<(n<<1)){
		lim<<=1,LG++,invlim=ksm(lim,mod-2);
		for(int i=0;i<lim;i++)rev[i]=(rev[i>>1]>>1)|((i&1)<<(LG-1));
		mul(f,g,h);
		for(int i=0;i<lim;i++)h[i]=(mod-h[i])%mod;
		(h[0]+=2)%=mod;
		mul(h,g,g);
	}
	for(int i=0;i<n;i++)printf("%d ",g[i]);puts("");
	return 0;
}