【模板】多项式乘法逆

II.【模板】多项式乘法逆

\(F\times G\equiv1(\operatorname{mod} x^n)\)？这是啥意思？

实际上，它的意思就是\(F\times G\)的\(1\sim n\)次幂的系数都为\(0\)，只有常数项为\(1\)，再往上的系数不管。

我们考虑递推求解。

设我们已经求出了使\(F\times G\equiv1(\operatorname{mod} x^m)\)成立的一个\(G\)，我们现在要求出\(\operatorname{mod}2m\)成立的另一个\(G\)。设\(g\)表示第一个\(G\)。

我们已知

\[F\times g\equiv 1(\operatorname{mod}x^m) \]

又有

\[F\times G\equiv 1(\operatorname{mod}x^{2m}) \]

则显然，

\[F\times G\equiv 1(\operatorname{mod}x^{m}) \]

于是

\[F\times (G-g)\equiv 0(\operatorname{mod}x^{m}) \]

\(F\)除过去，就有

\[G-g\equiv 0(\operatorname{mod}x^{m}) \]

两边平方，于是

\[(G-g)^2\equiv 0(\operatorname{mod}x^{2m})\text{（注意这里的模数也跟着平了方）} \]

拆开，得到

\[G^2-2Gg+g^2\equiv 0(\operatorname{mod}x^{2m}) \]

我们想尽量消去\(G\)，于是两边乘上\(F\)，就有

\[FG^2-2FGg+Fg^2\equiv 0(\operatorname{mod}x^{2m}) \]

因为\(FG\equiv 1\)，所以

\[G-2g+Fg^2\equiv 0(\operatorname{mod}x^{2m}) \]

移过去，就有

\[G\equiv 2g-Fg^2(\operatorname{mod}x^{2m}) \]

稍微合并一下

\[G\equiv g(2-Fg)(\operatorname{mod}x^{2m}) \]

这样我们就可以从\(g\)转移到\(G\)了，只需要两次NTT乘法即可。

\(g\)的初始值为\((F_0)^{-1}\)，即\(F_0\)的逆元。然后，不断按照上式倍长长度，直到长度达到\(F\)的二倍即可（这个二倍是因为\(F\times G\)的长度是\(2n\)）。

我们分析一下复杂度。它为\(\sum\limits_{i=2^k,i<2n}i\log i\)。

我们换成枚举\(\log i\)，就变成了\(\sum\limits_{i=0}^{\left\lceil\log n\right\rceil}2^ii\)。

我们考虑适当的放缩，它可以变成\(\sum\limits_{i=0}^{\left\lceil\log n\right\rceil}2^i\left\lceil\log n\right\rceil\)。

因为\(\sum\limits_{i=0}^{\left\lceil\log n\right\rceil}2^i\)实际上就等于\(2^{\left\lceil\log n\right\rceil+1}-1\approx n\)

所以它实际复杂度就是\(O(n\log n)\)的。

代码：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=1<<20;
const int G=3;
const int mod=998244353;
int n,f[N],g[N],rev[N],lim=1,LG,h[N],invlim,A[N],B[N];
int ksm(int x,int y){
    int rt=1;
    for(;y;x=(1ll*x*x)%mod,y>>=1)if(y&1)rt=(1ll*rt*x)%mod;
    return rt;
}
void NTT(int *a,int tp){
    for(int i=0;i<lim;i++)if(i<rev[i])swap(a[i],a[rev[i]]);
    for(int md=1;md<lim;md<<=1){
        int rt=ksm(G,(mod-1)/(md<<1));
        if(tp==-1)rt=ksm(rt,mod-2);
        for(int stp=md<<1,pos=0;pos<lim;pos+=stp){
            int w=1;
            for(int i=0;i<md;i++,w=(1ll*w*rt)%mod){
                int x=a[pos+i],y=(1ll*w*a[pos+md+i])%mod;
                a[pos+i]=(x+y)%mod;
                a[pos+md+i]=(x-y+mod)%mod;
            }
        }
    }
    if(tp==-1)for(int i=0;i<lim;i++)a[i]=(1ll*a[i]*invlim)%mod;
}
void mul(int *a,int *b,int *c){
	for(int i=0;i<lim;i++)A[i]=B[i]=0;
	for(int i=0;i<(lim>>1);i++)A[i]=a[i],B[i]=b[i];
	NTT(A,1),NTT(B,1);
	for(int i=0;i<lim;i++)A[i]=1ll*A[i]*B[i]%mod;
	NTT(A,-1);
	for(int i=0;i<lim;i++)c[i]=A[i];
}
int main(){
	scanf("%d",&n);
	for(int i=0;i<n;i++)scanf("%d",&f[i]);
	g[0]=ksm(f[0],mod-2);
	while(lim<(n<<1)){
		lim<<=1,LG++,invlim=ksm(lim,mod-2);
		for(int i=0;i<lim;i++)rev[i]=(rev[i>>1]>>1)|((i&1)<<(LG-1));
		mul(f,g,h);
		for(int i=0;i<lim;i++)h[i]=(mod-h[i])%mod;
		(h[0]+=2)%=mod;
		mul(h,g,g);
	}
	for(int i=0;i<n;i++)printf("%d ",g[i]);puts("");
	return 0;
}