[COCI2019] Transport

X.[COCI2019] Transport

常规淀粉质的题也可以出的非常毒瘤……

依旧考虑淀粉质。因为这里的路径是有向路径，所以会在分治中心被截成两半，一半从节点到根，记作$FR$路径；而另一半从根到节点，记作$TO$路径。显然，一条$FR$路径只能与来自不同子树的一条$TO$路径拼接，并且这两条路径还必须满足某种要求。具体什么要求呢？

（注意，接下来所有前缀一词，均指路径的前缀，方向为从起点到终点）

对于一条$FR$路径，我们要保证任何时刻，前缀和总不为负。我们可以设一个$fr_x$表示这所有前缀和的$\min$，则应有$fr_x\geq0$。

我们考虑从$fr_x$转移到它的一个儿子edge[i].to。则有

fr[edge[i].to]=min(fr[x],0ll)+val[edge[i].to]-edge[i].val;

理解：这里类似于最小子段和的DP方法——val[edge[i].to]-edge[i].val是从edge[i].to开车到$x$后的剩余油量，如果有剩余的，就可以补贴$x$后面可能出现的油量不足（换句话说，$fr_x$可以理解为最少补贴多少油，这辆车才能开到根节点）。

如果最终发现$fx_x\geq0$，则$x$就是一条可以转移的路径。我们记录一个$disfr_x$表示$x$开到根以后还剩多少油，这个可以简单维护。则我们把所有合法$x$的$disfr_x$全都丢入一个名叫$u$的vector<int>中存储。

然后就是考虑一条$TO$路径了。因为另一半的$FR$路径可能还会剩一些油可以补贴给$TO$路径，所以我们仍然设一个$to_x$表示它需要补充多少油。

则$to_x$仍然等于前缀和的$\min$，但这里前缀和是可以预处理出来的。我们设$disto_x$表示这一前缀和。则对$disto_x$求前缀$\min$即可得到$to_x$。

我们将所有的$-to_x$（注意这里取相反数了）全都丢入一个名叫$v$的vector<int>中储存。则对于$u$中每一个数，它可以支持$v$中所有$\leq$它的数。我们将$v$排序之后进行二分即可统计出这一数量。

因为总路径数具有可减性，所以直接统计整棵分治树的贡献后减去所有儿子各自独立的贡献即可。

复杂度$O(n\log^2n)$。

代码：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
int n,val[100100],head[100100],cnt,ROOT,SZ,sz[100100],msz[100100];
ll disfr[100100],disto[100100],fr[100100],to[100100],res;
struct Edge{
	int to,next,val;
}edge[200100];
void ae(int u,int v,int w){
	edge[cnt].next=head[u],edge[cnt].to=v,edge[cnt].val=w,head[u]=cnt++;
	edge[cnt].next=head[v],edge[cnt].to=u,edge[cnt].val=w,head[v]=cnt++;
}
bool vis[100100];
void getsz(int x,int fa){
	sz[x]=1;
	for(int i=head[x];i!=-1;i=edge[i].next)if(!vis[edge[i].to]&&edge[i].to!=fa)getsz(edge[i].to,x),sz[x]+=sz[edge[i].to];
}
void getroot(int x,int fa){
	sz[x]=1,msz[x]=0;
	for(int i=head[x];i!=-1;i=edge[i].next)if(!vis[edge[i].to]&&edge[i].to!=fa)getroot(edge[i].to,x),sz[x]+=sz[edge[i].to],msz[x]=max(msz[x],sz[edge[i].to]);
	msz[x]=max(msz[x],SZ-sz[x]);
	if(msz[x]<msz[ROOT])ROOT=x;
}
vector<ll>u,v;
void getroute(int x,int fa){
//	printf("%d:%lld,%lld,%lld,%lld\n",x,disfr[x],fr[x],disto[x],to[x]);
	for(int i=head[x];i!=-1;i=edge[i].next){
		if(vis[edge[i].to]||edge[i].to==fa)continue;
		disto[edge[i].to]=disto[x]+val[x]-edge[i].val;
		to[edge[i].to]=min(to[x],disto[edge[i].to]);
		disfr[edge[i].to]=disfr[x]+val[edge[i].to]-edge[i].val;
		fr[edge[i].to]=min(fr[x],0ll)+val[edge[i].to]-edge[i].val;
		getroute(edge[i].to,x);
	}
}
void getvec(int x,int fa){
	if(fr[x]>=0)u.push_back(disfr[x]);
	v.push_back(-to[x]);
	for(int i=head[x];i!=-1;i=edge[i].next)if(!vis[edge[i].to]&&edge[i].to!=fa)getvec(edge[i].to,x);
}
void calc(int x){
	fr[x]=to[x]=disfr[x]=disto[x]=0;
	getroute(x,0);
	u.clear(),v.clear(),getvec(x,0);
	sort(v.begin(),v.end());
	for(auto i:u)res+=upper_bound(v.begin(),v.end(),i)-v.begin();
	for(int i=head[x];i!=-1;i=edge[i].next){
		if(vis[edge[i].to])continue;
		u.clear(),v.clear(),getvec(edge[i].to,x),sort(v.begin(),v.end());
		for(auto j:u)res-=upper_bound(v.begin(),v.end(),j)-v.begin();
	}
}
void solve(int x){
	getsz(x,0);
	calc(x);
	vis[x]=true;
	for(int i=head[x];i!=-1;i=edge[i].next)if(!vis[edge[i].to])ROOT=0,SZ=sz[edge[i].to],getroot(edge[i].to,0),solve(ROOT);
}
void read(int &x){
	x=0;
	char c=getchar();
	while(c>'9'||c<'0')c=getchar();
	while(c>='0'&&c<='9')x=(x<<3)+(x<<1)+(c^48),c=getchar();
}
int main(){
	read(n),memset(head,-1,sizeof(head));
	for(int i=1;i<=n;i++)read(val[i]);
	for(int i=1,x,y,z;i<n;i++)read(x),read(y),read(z),ae(x,y,z); 
	msz[0]=n+1,SZ=n,getroot(1,0),solve(ROOT);
	printf("%lld\n",res-n);
	return 0;
}