[八省联考2018]制胡窜

XVIII.[八省联考2018]制胡窜

首先，本题parent tree上树上倍增+线段树合并找出每个点的 $\text{endpos}$ 集合应该是没得说的。

于是我们现在考虑知道了 $\text{enspos}$ 集合以及询问串长度 $len$ 怎么求出答案。

首先，一个正常人稍微想想，都应该得出正难则反的推论，因为无论怎么说不合法的划分明显要来得比较工整。

于是问题转化为割两刀，能否切断所有串。我们设最左端串的右端点为 $L$，最右端串的右端点为 $R$。同时，设所有串的端点集合为 $p_1,p_2,\dots,p_m$。明显有 $p_1=L,p_m=R$。

1. 若出现三个及以上无交串则无不合法划分。这是显然的，因为一次只能割断一个无交串。
2. 若最左端的串与最右端的串有交，则两两串皆有交。考虑此种情形。

首先，此时，所有串的交集非空，等于最左串与最右串的交集，这是显然的。

则，若有至少一刀砍到了此交集上，则所有串就都被砍到了。

交集长度为 $L-R+len$。从中砍两刀，总方案数为 $\dbinom{L-R+len-1}{2}$。从中只砍一刀，方案数为 $(L-R+len-1)\times(n-len)$。

若一刀都没有砍到此交集上，则显然有一刀砍到了 $p_{1\sim i}$ 的交集上，另一刀砍到了 $p_{i+1\sim m}$ 的交集上，其中 $i\in[1,m)$。

则，此部分答案为 $\sum\limits_{i=1}^{m-1}[p_i-len+1,p_{i+1}-len+1)\times[R-len+1,p_{i+1})$，其中两段东西分别是两刀可以取到的区间。计算区间长度之积，是 $\sum\limits_{i=1}^{m-1}(p_{i+1}-p_i)\times(p_{i+1}-R+len-1)$。拆成与 $p$ 有关的项和无关的项，得到 $\sum\limits_{i=1}^{m-1}p_{i+1}(p_{i+1}-p_i)-(R-len+1)\sum\limits_{i=1}^{m-1}p_{i+1}-p_i$。继续展开，最终得到 $\Big(\sum\limits_{i=1}^{m-1}p_{i+1}(p_{i+1}-p_i)\Big)-(R-len+1)(R-L)$。最左边那一大坨可以在线段树合并时顺手维护掉，右边一大坨可以 $O(1)$ 直接计算。

3. 若最左端串与最右端串无交。

首先，对于与左右两端串皆有交的串来说，其仍然可以与前一种情形一样地计算。准确来说，若设 $lp$ 表示最左的与 $R$ 有交的串，$rp$ 表示最右的与 $L$ 有交的串，则仍有此部分答案为 $\Big(\sum\limits_{i=lp}^{rp-1}p_{i+1}(p_{i+1}-p_i)\Big)-(R-len+1)(p_{rp}-p_{lp})$。

但是，有一个例外。我们可以在 $[p_{rp}-len+1,L]$ 这段区间里砍一刀。这时，找到 $np$ 是最左的与 $L$ 无交的串，则此串必与 $R$ 有交。于是，另一刀就砍在 $np$ 与 $R$ 的交集上，这时也能达成目标。

时间复杂度 $O(n\log n)$。

代码：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
int read(){
	int x=0;
	char c=getchar();
	while(c>'9'||c<'0')c=getchar();
	while(c>='0'&&c<='9')x=(x<<3)+(x<<1)+(c^48),c=getchar();
	return x;
}
int n=read(),m=read(),cnt=1,anc[200100][20],id[100100],tot;
char s[100100];
struct Suffix_Automaton{int ch[10],fa,len;}t[200100];
int Add(int x,int c){
	int xx=++cnt;t[xx].len=t[x].len+1;
	for(;x&&!t[x].ch[c];x=t[x].fa)t[x].ch[c]=xx;
	if(!x){t[xx].fa=1;return xx;}
	int y=t[x].ch[c];
	if(t[y].len==t[x].len+1){t[xx].fa=y;return xx;}
	int yy=++cnt;t[yy]=t[y],t[yy].len=t[x].len+1;
	t[xx].fa=t[y].fa=yy;
	for(;x&&t[x].ch[c]==y;x=t[x].fa)t[x].ch[c]=yy;
	return xx;
}
int rt[200100];
#define mid ((l+r)>>1)
struct Section{
	int lval,rval;
	ll val;
	Section(){lval=0,rval=n+1,val=0;}
	Section(int P){lval=rval=P,val=0;}
	Section(int L,int R,ll V){lval=L,rval=R,val=V;}
	void print()const{printf("%d %d %lld\n",lval,rval,val);}
	bool empty()const{return !lval&&rval==n+1;}
	friend Section operator+(const Section&l,const Section&r){
		if(l.empty())return r;if(r.empty())return l;
		return Section(l.lval,r.rval,l.val+r.val+1ll*r.lval*(r.lval-l.rval));
	}
};
struct SegTree{int lson,rson,sum;Section val;}seg[4001000];
void modify(int &x,int l,int r,int P){
	if(l>P||r<P)return;
	if(!x)x=++tot;seg[x].sum++;
	if(l!=r)modify(seg[x].lson,l,mid,P),modify(seg[x].rson,mid+1,r,P),seg[x].val=seg[seg[x].lson].val+seg[seg[x].rson].val;
	else seg[x].val=Section(P);
}
int merge(int x,int y){
	if(!x||!y)return x+y;
	int z=++tot;seg[z].sum=seg[x].sum+seg[y].sum;
	seg[z].val=seg[seg[z].lson=merge(seg[x].lson,seg[y].lson)].val+seg[seg[z].rson=merge(seg[x].rson,seg[y].rson)].val;
	return z;
}
int inneraskleft(int x,int l,int r){if(l==r)return l;if(seg[seg[x].lson].sum)return inneraskleft(seg[x].lson,l,mid);return inneraskleft(seg[x].rson,mid+1,r);}
int outeraskleft(int x,int l,int r,int L,int R){
	if(l>R||r<L||!x)return -1;
	if(L<=l&&r<=R){
		if(!seg[x].sum)return -1;
		return inneraskleft(x,l,r);
	}
	int tmp=outeraskleft(seg[x].lson,l,mid,L,R);
	if(tmp!=-1)return tmp;
	return outeraskleft(seg[x].rson,mid+1,r,L,R);
}
int inneraskright(int x,int l,int r){if(l==r)return r;if(seg[seg[x].rson].sum)return inneraskright(seg[x].rson,mid+1,r);return inneraskright(seg[x].lson,l,mid);}
int outeraskright(int x,int l,int r,int L,int R){
	if(l>R||r<L||!x)return -1;
	if(L<=l&&r<=R){
		if(!seg[x].sum)return -1;
		return inneraskright(x,l,r);
	}
	int tmp=outeraskright(seg[x].rson,mid+1,r,L,R);
	if(tmp!=-1)return tmp;
	return outeraskright(seg[x].lson,l,mid,L,R);
}
int querycount(int x,int l,int r,int L,int R){
	if(l>R||r<L||!x)return 0;
	if(L<=l&&r<=R)return seg[x].sum;
	return querycount(seg[x].lson,l,mid,L,R)+querycount(seg[x].rson,mid+1,r,L,R);
}
void iterate(int x,int l,int r){if(!x)return;printf("%d[%d,%d]:%d\n",x,l,r,seg[x].sum);if(l!=r)iterate(seg[x].lson,l,mid),iterate(seg[x].rson,mid+1,r);}
vector<int>v[200100];
void dfs(int x){for(auto y:v[x])anc[y][0]=x,dfs(y),rt[x]=merge(rt[x],rt[y]);}
int doubling(int l,int r){int x=id[r];for(int i=19;i>=0;i--)if(anc[x][i]&&t[anc[x][i]].len>=r-l+1)x=anc[x][i];return x;}
Section queryarea(int x,int l,int r,int L,int R){
	if(l>R||r<L||!x)return Section();
	if(L<=l&&r<=R){return seg[x].val;}
	return queryarea(seg[x].lson,l,mid,L,R)+queryarea(seg[x].rson,mid+1,r,L,R);
}
ll calc(int x,int len){
//	iterate(rt[x],1,n);
	int L=outeraskleft(rt[x],1,n,1,n),R=outeraskright(rt[x],1,n,1,n);
	if(L+len<R-len+1&&querycount(rt[x],1,n,L+len,R-len))return 0;//three non-intersect
	if(L>=R-len+1){//two intersect
		ll A=seg[rt[x]].val.val-1ll*(R-len+1)*(R-L);//cut two useful
		ll B=1ll*(L-R+len-1)*(L-R+len-2)/2+1ll*(L-R+len-1)*(n-len);//cut one useful
		return A+B;
	}
	int lp=outeraskright(rt[x],1,n,L,R-len+1),rp=outeraskright(rt[x],1,n,L,L+len-1),np=outeraskleft(rt[x],1,n,L+len-1,R);
//	printf("%d %d %d\n",lp,rp,np);
	ll ret=0;if(lp<=rp)ret+=queryarea(rt[x],1,n,lp,rp).val-1ll*(R-len+1)*(rp-lp);
	if(np>R-len+1)ret+=1ll*(L-rp+len-1)*(np-R+len-1);
	return ret;
}
int main(){
	scanf("%s",s+1);
	for(int i=1,las=1;i<=n;i++)las=id[i]=Add(las,s[i]-'0');
	for(int i=1;i<=n;i++)modify(rt[id[i]],1,n,i);
	for(int i=2;i<=cnt;i++)v[t[i].fa].push_back(i);
	dfs(1);
	for(int j=1;j<=19;j++)for(int i=1;i<=cnt;i++)anc[i][j]=anc[anc[i][j-1]][j-1];
//	for(int j=0;j<=3;j++){for(int i=1;i<=cnt;i++)printf("%d ",anc[i][j]);puts("");}
//	for(int i=1;i<=cnt;i++)printf("%d ",t[i].len);puts("");
	for(int i=1,l,r;i<=m;i++)l=read(),r=read(),printf("%lld\n",1ll*(n-1)*(n-2)/2-calc(doubling(l,r),r-l+1));
	return 0;
}