SAM感性瞎扯

SAM是Suffix Automaton ~~萨菲克斯自动马桶~~的缩写，其中文翻译是后缀自动机。

顾名思义，其是一个自动机。SAM接受一个串，当且仅当其是母串 $S$ 的后缀。

这里我们给出一些定义：

所有使用黑板粗体格式的字符 $\mathbb{S}$ ，表示集合；

所有使用大写格式的字符 $S$ ，表示字符串；

所有使用黑体格式的字符 $\mathbf{s}$ ，表示字符型变量；

所有使用正体格式的字符 $\text{s}$ ，表示一种定义；

所有使用小写格式的字符 $s$ ，表示整型变量；

所有被代码框框起来的字符 s，表示 s 这个字符。ss 之类，可能表示字符串，也可能表示一段代码，视具体情形而定。

所有无任何格式的字符 s，表示一种专有名词。

定义字符串的下标从 $0$ 开始（若没有特殊说明）。

定义 $\text{pre}_S(i)$ 为字符串 $S$ 长度为 $i$ 的前缀。若已经定义了 $S$ ，也可以简写成 $\text{pre}(i)$ 或 $\text{pre}_i$ 。

定义 $\text{suf}_S(i)$ 同理，表示后缀。

定义母串 $S$ 为后缀自动机所作用的串。

定义 $|S|$ 符号表示串 $S$ 的长度。更多的时候，会专门定义一个 $n$ 来表示。同时，其也可以被用于表示一个集合中元素的数量。

O.后缀自动机

模板的讲解。

首先，若我们暴力地想建出SAM，明显点数是 $O(|S|^2)$ 的。

唯一的优化方式即为缩减状态数。

定义 $\text{endpos}_S(T)$ 是一个串 $T$ 在串 $S$ 中所有出现的位置的结尾下标。明显，其是一集合。例如，若 $T$ 为 ab， $S$ 为 abab，则 $\text{endpos}_S(T)=\{1,3\}$ 。在指明 $S$ 的时候可以忽略下标。

我们发现，在 $S$ 的众多子串中，有很多串的 $\text{endpos}$ 集合是相等的。例如，在上文的例子中，ab 和 b 的 $\text{endpos}$ 集合就是相同的。

我们把两个串 $T_1,T_2$ $\text{endpos}$ 集合相等的关系称作 $\text{endpos}$ 等价，符号表示为 $T_1\equiv_ST_2$ 。指明 $S$ 时可忽略下标。

我们发现，通过上述的 $\equiv$ 关系，我们可以将 $S$ 的所有子串分作众多 $\text{endpos}$ 等价类，简称类。

则有如下定理：

定理1：等价类中任意两个串，其中一个是另一个的后缀

$\boxed{\text{定理1：等价类中任意两个串，其中一个是另一个的后缀}}$

这是非常显然的——更长的串都匹配上了，更短的串还能匹配不上吗？

由 $(1)$ ，便可得到定理 $(2)$ ：

$\boxed{\text{定理2：对于两个串}T_1,T_2(|T_1|\geq|T_2|),\text{endpos}(T_1)\subseteq\text{endpos}(T_2)\text{ 或 }\text{endpos}(T_1)\cup\text{endpos}(T_2)=\varnothing}$

实际上是 $(1)$ 的逆命题。证明类似。

由 $(1)$ 和 $(2)$ ，可以得到 $(1)$ 更强的推论：

$\boxed{\text{定理3：等价类中所有串按照长度从大到小排序，后一个是前一个的长度减一的后缀}}$

于是我们定义 $\min(\mathbb{S})$ 为一集合 $\mathbb{S}$ 中长度最短的串， $\max(\mathbb{S})$ 为最长的。

考虑往 $\max(\mathbb{S})$ （设其为 $P$ ）开头添加一个字符，则会得到一个新的串 $Q$ 。明显， $\text{endpos}(Q)\subset\mathbb{S}$ 。而添加不同的字符，便会得到不同的 $Q$ ——明显这些 $Q$ ，因为其长度相等而又不完全相同，故其 $\text{endpos}$ 集合全都无交。并且，所有这样的 $Q$ 的 $\text{endpos}$ 集合的并会得到 $\mathbb{S}$ 。

这也意味着这样的操作是一个划分操作——每个 $\mathbb{S}$ 中的串归入且仅归入一个集合。明显，划分操作是有父子关系的，故所有集合实际上构成了一棵树，称其为 parent tree。同时，在划分的时候， $\mathbb{S}$ 中会至少有一个元素被分到了大小为 $1$ 的集合。

而这就意味着，总节点数不会超过 $2n$ （有 $n$ 个大小为 $1$ 的集合；根集合大小为 $n$ ，每次划分至少损失掉一个元素）！那就意味着，如果我们有较快的算法建出parent tree，是可以存得下其中所有东西的！

但是，知道有parent tree这种东西，又有什么用呢？

我们将看到，parent tree中所有节点，刚好可以被看作是自动机上节点！空串节点可被看作是DAG的源点，所有包含母串的集合 $\mathbb{S}$ 都是终止节点。可以发现，终止节点形成parent tree中一条从源点到叶子的链。

在自动机中，我们需要保证，一条从源点到某个点 $i$ 的路径上所有边上的字符依次拼接起来会刚好得到 $i$ 点所对应集合里所有的串，也即自动机上的边上储存的是字符；而parent tree，因为在分析中我们是往前面不停添加字符，所以边上存的都是字符串。在parent tree上沿着边向子树中走，相当于往当前集合中的所有串的开头插入一个字符串；在自动机上沿着边走，则相当于往当前集合中所有串的结尾插入一个字符。这部分也可以类别AC自动机和fail树的关系（尽管二者的相似之处很少，除了都是一个自动机和一个树以外就没别的相同之处了）

我们已经保证自动机的点数是 $O(n)$ 的了；但是如何保证其边数也符合要求呢？

事实上，其边数也是 $O(n)$ 的。

我们考虑母串的全部后缀。明显，只需要保证每个后缀都能有一条从根到其代表节点的路径，即可拍胸脯保证这是一个合法的SAM了（因为这就是SAM的定义呀）。与此同时，我们不仅可以从源点出发正着跑路径，也可以从终止节点出发倒着跑路径——二者是等价的。

我们考虑对自动机求出其任意一棵生成树，并通过往生成树中加入新边来复原出自动机。然后，我们考虑遍历每个终止节点，并且按照某种顺序遍历该终止节点对应集合内所有的字符串。

如果对于其中一个串，存在一条从根到该终止节点的路径来表示该串，显然该串已经被check过合法了，可以跳过；

否则，即不存在一条这样的路径（尚未被添加入生成树张成的自动机中）。我们考虑将这条路径上尚未被添加的边（因为已经有一棵生成树，所以最多只有一条缺失的边）加入自动机中。这时，其parent tree中父亲、祖父，乃至所有祖先的集合中，当前字符串的后缀字符串，其也有一条路径同时被铺出来了（尽管不一定是原本自动机中的路径，但是只要有一条路径就行了）。之后，考虑再check下一个串即可。可以发现，此过程添加的边不会超过 $|\text{endpos}(\mathbb{S})|$ 的大小。而所有后缀中，一条边最多只会被加一次，所以总边数就是后缀数量，也即 $O(n)$ 的。

后缀自动机的构造是在线的，增量的。这意味着可以在任意时刻，往任意节点后面添加字符（也就意味着可以很容易用它来实现树上SAM，或是多串SAM之类）。

一个典型的SAM长这样：

如图，底下一溜节点是原串的前缀，它们是一定存在于自动机里的（即parent tree中一整条终止节点路径）。而上面的节点，以及那些虚线的边，是不一定存在，也不一定是这么连接的。

我们定义一个集合 $\mathbb{S}$ 的 $\max(\mathbb{S})$ 的长度为 $\text{len}(\mathbb{S})$ 。明显，parent tree中，集合 $\mathbb{S}$ 有且仅有一个父亲，称作 $\text{fa}(\mathbb{S})$ 。则， $|\min(\mathbb{S})|$ ，应为 $\text{len}\Big(\text{fa}(\mathbb{S})\Big)+1$ ，依照我们上面关于添加字符的分析。这就意味着我们只需对于集合 $\mathbb{S}$ 储存其父亲和其最大串的长度就能知道其最小串的长度了。它们将在建SAM时派上大用处。

以下，会照着程序解释。

struct Suffix_Automaton{int ch[26],len,fa;}t[N<<1];//a SAM has 2n nodes!!!
int cnt=1;
int Add(int x,int c){//add a character c after node x,return the index.
	int xx=++cnt;//the index of the newly-added node
	t[xx].len=t[x].len+1;//the maximal length of strings in xx.
	for(;x&&!t[x].ch[c];x=t[x].fa)t[x].ch[c]=xx;
	if(!x){t[xx].fa=1;return xx;}
	int y=t[x].ch[c];
	if(t[y].len==t[x].len+1){t[xx].fa=y;return xx;}
	int yy=++cnt;t[yy]=t[y];
	t[yy].len=t[x].len+1;
	t[y].fa=t[xx].fa=yy;
	for(;x&&t[x].ch[c]==y;x=t[x].fa)t[x].ch[c]=yy;
	return xx;
}

首先，记原来的串为 $S$ ，加完新字符后的串为 $S'$ 。显然，依照我们上述推论， $S'$ 自身所对应的状态是一定在自动机里的，但是它目前不在，所以建一个新点 $xx$ 表示 $S'$ 串本身，其长度为 $|S|+1$ 。

在添加完一个 $\mathbf{c}$ 后（注意此处 $\mathbf{c}$ 是一个字符，所以使用黑体），明显受到影响的只有 $S'$ 的后缀（或者说 $S$ 的所有后缀再加上 $\mathbf{c}$ ）。

然后，不断地跳 $x$ 的父亲。因为 $x$ 是旧串的母串节点，所以 $x$ 的所有祖先就全是终止节点，即所有旧串的后缀。若当前的 $x$ 没有一个 $\mathbf{c}$ 的儿子，该后缀后面加上 $\mathbf{c}$ 就能得到 $S'$ 的后缀，故在自动机上连一条边 $(x,xx)$ （回忆一下，后缀自动机的边的意义是在结尾处添加字符），然后继续遍历其祖先。

如果一路跳最终跳到了根，显然整个串中都没有出现过 $\mathbf{c}$ 。因此直接令 $x$ 的父亲为根即可。

否则，即其存在一个 $\mathbf{c}$ 儿子，即为代码中的 $y$ 。

若 t[y].len==t[x].len+1 成立，则应有 $\max(y)=\max(x)+\mathbf{c}$ 。而 $x$ 是旧串后缀，故 $y$ 表示新串后缀。因此， $y$ 与 $xx$ 定义相同。但是 $xx$ 在一路跳上去的过程中已经被设作了一堆东西的儿子，所以为了不再把它设一遍，我们直接认 $y$ 作父亲。

于是，下面就有 t[y].len!=t[x].len+1。而因为parent tree中的长度是随着深度增加而递增的，故实际上是t[y].len>t[x].len+1。

此时，考虑 $\max(x)+\mathbf{c}$ 。明显，其应该属于 $y$ ，但是其并不属于新串后缀（不然会直接跳到它所属节点上）。也即， $y$ 节点所属集合中，不全是可以添加 $\mathbf{c}$ 的串。因而，我们必须将 $y$ 分作两个集合，一个作为 $x$ 的 $\mathbf{c}$ 儿子，一个变成了 $xx$ 的兄弟，也即 $x$ 的孙子。

我们选择，另开一个新节点 $yy$ 作为 $x$ 的 $\mathbf{c}$ 儿子，然后用 $y$ 本身作为 $yy$ 的儿子。则 $x$ 以及 $x$ 祖先中所有出现过的 $y$ 边（明显其应该是一条从 $x$ 往上的链）都应该被更换成 $yy$ ，然后令 $\text{len}(yy)=\text{len}(x)+1$ 。