[ZJOI2016]大森林

XXI.[ZJOI2016]大森林

论LCT的百种用法系列

这题有几个性质：

1.询问与时间无关。因为只是添加新点，原来点之间的位置关系不变。因此只要询问的两个点都被建出来了，何时进行询问并无影响。

2.操作重叠的部分很多。因为我们不管怎么加点，即使是加原树中没有的点，仍然有原来点之间的位置关系不变。因此，我们每次加点操作都可以默认是所有树全都加点，不需要管原本\(l,r\)的限制。这样的话，某些相似的部分可能在很多树上都出现了。我们是否可以把相似的部分提取出来呢？

我们考虑差分对于生长节点的修改。

对于每次修改，我们都新建一个虚点。在下一次修改之前，所有的生长效果都是在这个虚点上再挂上一个点。这样的话，就在更改生长节点时，就可以直接虚点一断一连即可。

生长操作就是这段代码：

if(t1==0)insnewreal(t2,t3),link(cntofall,lastvir);//a new real node, linked to the previous virtual

对于修改操作：

首先，关注到原题中的一段话：

\(1\ l\ r\ x\) 表示将第 \(l\) 棵树到第 \(r\) 棵树的生长节点改到标号为 \(x\) 的节点。对于 \(i\) \((l\leq i\leq r)\) 这棵树，如果标号 \(x\) 的点不在其中，那么这个操作对该树不产生影响。

因为我们的生长都是所有树全都长，那就意味着有些原本没有\(x\)点的树也长出了\(x\)点。

因此，我们这个修改区间应该与\(x\)号节点的生长区间取交集。如果交集为空，直接跳过此次修改。

修改操作步骤如下：

1. 取并集

2. 新建代表此次修改的虚点，并将其父亲设为上次修改的虚点（即\(link\)一下）。

3. 在树\(l\)处压入操作“将这次修改的虚点连到这次修改的目标生长节点上”（这应用了扫描线的思想）。

4. 在树\(r+1\)处压入操作“将这次修改的虚点重新连回上次修改的虚点”。

5. 将“上次修改的虚点”这一统计变量赋成本次修改的虚点。

对应代码：

if(t1==1){
	scanf("%d",&t4);
	t2=max(t2,nl[t4]);
	t3=min(t3,nr[t4]);
	if(t2>t3)continue;
	link(++cntofall,lastvir);//add a new virtual node
	v[t2].push_back(op(-1,cntofall,realid[t4]));//initially,the new virtual is linked to lastvir;after TREE t2, it is now linked to realid[t4];
	v[t3+1].push_back(op(-1,cntofall,lastvir));//and after t3+1, the new virtual is linked to lastvir again.
	lastvir=cntofall;
}

然后就是按照从\(1\)到\(n\)的顺序遍历每棵树，依次进行修改和询问了。

哦，对，询问，怎么办呢？

首先这题我们最好不要写无根LCT，即使用\(makeroot\)的LCT。因为操作有点多，这个无根LCT的\(makeroot\)常数极大，按照我这种不写快读的写法是妥妥T的。那么我们应该如何实现查询路径长度呢？

首先一个非常合情合理的想法就是树上差分。假定我们要查询的是点对\((x,y)\)，我们就找到\(LCA_{x,y}\)，并尝试用一些值拼出路径长度。

假设我们已经找出\(LCA_{x,y}\)，则我们只需要在每个节点维护splay中实子树大小，然后\(access(x),access(y),access(LCA)\)，分别求出\(x\)到\(ROOT\)、\(y\)到\(ROOT\)、\(LCA\)到\(ROOT\)的路径长度（当然，只包括实点，虚点不算\(size\)）。答案即为\(s_x+s_y-2s_{LCA}\)。

代码：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define lson t[x].ch[0]
#define rson t[x].ch[1]
int n,m,cntofreal,cntofall,cntofquery,lastvir,realid[200100],nl[200100],nr[200100],res[200100];
struct LCT{
	int fa,ch[2],sz,real;
}t[1001000];
inline int identify(int x){
	if(x==t[t[x].fa].ch[0])return 0;
	if(x==t[t[x].fa].ch[1])return 1;
	return -1;
}
inline void pushup(int x){t[x].sz=t[lson].sz+t[rson].sz+t[x].real;}
inline void rotate(int x){
	register int y=t[x].fa,z=t[y].fa,dirx=identify(x),diry=identify(y),b=t[x].ch[!dirx];
	if(diry!=-1)t[z].ch[diry]=x;t[x].fa=z;
	if(b)t[b].fa=y;t[y].ch[dirx]=b;
	t[y].fa=x,t[x].ch[!dirx]=y;
	pushup(y),pushup(x);
}
inline void splay(int x){for(;identify(x)!=-1;rotate(x))if(identify(t[x].fa)!=-1)rotate(identify(x)==identify(t[x].fa)?t[x].fa:x);}
inline int access(int x){register int y=0;for(;x;x=t[y=x].fa)splay(x),rson=y,pushup(x);return y;}
inline int findroot(int x){access(x),splay(x);while(lson)x=lson;splay(x);return x;}
inline void link(int x,int y){access(x),splay(x),t[x].fa=y;}
inline void cut(int x){access(x),splay(x),lson=t[lson].fa=0,pushup(x);}
inline int getdis(int x,int y){
	int sx,sy,sl,lca;
	access(x),splay(x),sx=t[x].sz;
	lca=access(y),splay(y),sy=t[y].sz;
	access(lca),splay(lca),sl=t[lca].sz;
	return sx+sy-2*sl;
}
void insnewreal(int l,int r){//insert a new node for all trees in section [l,r]
	t[realid[++cntofreal]=++cntofall].real=true;//cnt of all,the ID of all nodes in the LCT; real id,the ID of all the real nodes in the LCT
	nl[cntofreal]=l,nr[cntofreal]=r;//cnt of real, the ID of added real nodes
}
struct op{
	int id,x,y;
	op(int a=0,int b=0,int c=0){id=a,x=b,y=c;}
};
vector<op>v[100100];
int main(){
	scanf("%d%d",&n,&m);
	insnewreal(1,n);//initially, one real node for all
	link(++cntofall,1);//a initial virtual node, linking to the initial real node
	lastvir=cntofall;//last virtual, the previous virtual node's ID.
	for(int i=1,t1,t2,t3,t4;i<=m;i++){
		scanf("%d%d%d",&t1,&t2,&t3);
		if(t1==0)insnewreal(t2,t3),link(cntofall,lastvir);//a new real node, linked to the previous virtual
		if(t1==1){
			scanf("%d",&t4);
			t2=max(t2,nl[t4]);
			t3=min(t3,nr[t4]);
			if(t2>t3)continue;
			link(++cntofall,lastvir);//add a new virtual node
			v[t2].push_back(op(-1,cntofall,realid[t4]));//initially,the new virtual is linked to lastvir;after TREE t2, it is now linked to realid[t4];
			v[t3+1].push_back(op(-1,cntofall,lastvir));//and after t3+1, the new virtual is linked to lastvir again.
			lastvir=cntofall;
		}
		if(t1==2)scanf("%d",&t4),v[t2].push_back(op(++cntofquery,realid[t3],realid[t4]));
	}
	for(int i=1;i<=n;i++)for(int j=0;j<v[i].size();j++){
		if(v[i][j].id!=-1)res[v[i][j].id]=getdis(v[i][j].x,v[i][j].y);
		else cut(v[i][j].x),link(v[i][j].x,v[i][j].y);
	}
	for(int i=1;i<=cntofquery;i++)printf("%d\n",res[i]);
	return 0;
}