[SDOI2017]树点涂色

XVII.[SDOI2017]树点涂色

树剖和LCT学到最后实际上是殊途同归的……就比如说这题，可以用树剖，但是在操作$1$中借鉴了LCT的跳链思想；LCT则因为不能子树修改，按照dfs序需要建出线段树出来，实际上也就是树剖的思想了。

首先讲一下LCT写法。观察到任意时刻，任意一种颜色一定是一条深度递增的链。那么刚好可以被存入LCT的一颗splay中。

因此操作$1$就是直接access(x)即可。

关于操作$2$，我们可以采用树上差分的思想。观察到答案具有可减性。我们设$res_x$表示节点$x$到根的路径上颜色段数，则路径$(x,y)$的答案即为$res_x+res_y-res_{LCA_{x,y}}+1$，其中$+1$是因为$LCA_{x,y}$所在的那段颜色被减了两遍。

操作$3$维护dfs序线段树直接求子树$res$最值即可（类似于树剖操作）。

至于如何维护$res$的值呢？我们思考一下，发现它就是你把它access时，所经过的splay的数量。老办法，考虑虚子树的信息。我们只有在access时才会更改虚子树的关系。

我们回忆一下access时我们干了点什么：

inline void access(int x){
	for(register int y=0;x;x=t[y=x].fa)splay(x),rson=y,pushup(x);
}

我们断掉rson的实边，并增加了y的实边。

对于y，少了一个splay，应该整棵子树$-1$；对于rson，多了一个splay，应该整棵子树$+1$。

但是！！！别忘了，splay中一切父子关系都是不可靠的。我们必须找到真正的rson和真正的y。而真正的rson和真正的y，就是以它们为根的splay中，深度最浅的点。

然后我们写出了这样的找根函数：

inline int find(int x){
	pushdown(x);
	while(lson)pushdown(x),x=lson;
	return x;
}

使用这个就能找到正确的子节点。

正确的access：

inline void access(int x){
	for(register int y=0,z;x;x=t[y=x].fa){
		splay(x);
		if(rson)z=find(rson),modify(1,1,n,dfn[z],dfn[z]+sz[z]-1,1);
		rson=y;
		if(y)z=find(y),modify(1,1,n,dfn[z],dfn[z]+sz[z]-1,-1);
		pushup(x);
	}
}

总代码：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n,m;
//---------------------------------------------------------
struct Edge{
	int to,next;
}edge[200100];
struct SegTree{
	int tag,mx;
}seg[400100];
struct LCT{
	int fa,ch[2];
	bool rev;
}t[100100];
//---------------------------------------------------------
int head[100100],cnt,sz[100100];
void ae(int u,int v){
	edge[cnt].next=head[u],edge[cnt].to=v,head[u]=cnt++;
	edge[cnt].next=head[v],edge[cnt].to=u,head[v]=cnt++;
}
//---------------------------------------------------------
int dfn[100100],dep[100100],tot,rev[100100];
int anc[100100][18];
void dfs(int x,int fa){
	dep[x]=dep[fa]+1,dfn[x]=++tot,t[x].fa=fa,sz[x]=1,rev[tot]=x,anc[x][0]=fa;
	for(int i=1;(1<<i)<dep[x];i++)anc[x][i]=anc[anc[x][i-1]][i-1];
	for(int i=head[x];i!=-1;i=edge[i].next)if(edge[i].to!=fa)dfs(edge[i].to,x),sz[x]+=sz[edge[i].to];
}
int LCA(int u,int v){
	if(dep[u]>dep[v])swap(u,v);
	for(int i=17;i>=0;i--)if(dep[u]<=dep[v]-(1<<i))v=anc[v][i];
	if(u==v)return u;
	for(int i=17;i>=0;i--)if(anc[u][i]!=anc[v][i])u=anc[u][i],v=anc[v][i];
	return anc[u][0];
}
//---------------------------------------------------------
#define lson x<<1
#define rson x<<1|1
#define mid ((l+r)>>1)
void update(int x){seg[x].mx=max(seg[lson].mx,seg[rson].mx);}
void ADD(int x,int y){seg[x].tag+=y,seg[x].mx+=y;}
void downdate(int x){ADD(lson,seg[x].tag),ADD(rson,seg[x].tag),seg[x].tag=0;}
void build(int x,int l,int r){
	if(l==r){seg[x].mx=dep[rev[l]];return;}
	build(lson,l,mid),build(rson,mid+1,r),update(x);
}
void modify(int x,int l,int r,int L,int R,int val){
	if(l>R||r<L)return;
	if(L<=l&&r<=R){ADD(x,val);return;}
	downdate(x),modify(lson,l,mid,L,R,val),modify(rson,mid+1,r,L,R,val),update(x);
}
int query(int x,int l,int r,int L,int R){
	if(l>R||r<L)return 0;
	if(L<=l&&r<=R)return seg[x].mx;
	downdate(x);
	return max(query(lson,l,mid,L,R),query(rson,mid+1,r,L,R));
}
#undef lson
#undef rson
//---------------------------------------------------------
#define lson t[x].ch[0]
#define rson t[x].ch[1]
inline int identify(int x){
	if(x==t[t[x].fa].ch[0])return 0;
	if(x==t[t[x].fa].ch[1])return 1;
	return -1;
}
inline void pushup(int x){}
inline void REV(int x){t[x].rev^=1,swap(lson,rson);}
inline void pushdown(int x){
	if(!t[x].rev)return;
	if(lson)REV(lson);
	if(rson)REV(rson);
	t[x].rev=0;
}
inline void rotate(int x){
	register int y=t[x].fa;
	register int z=t[y].fa;
	register int dirx=identify(x);
	register int diry=identify(y);
	register int b=t[x].ch[!dirx];
	if(diry!=-1)t[z].ch[diry]=x;t[x].fa=z;
	if(b)t[b].fa=y;t[y].ch[dirx]=b;
	t[y].fa=x,t[x].ch[!dirx]=y;
	pushup(y),pushup(x);
}
inline void pushall(int x){if(identify(x)!=-1)pushall(t[x].fa);pushdown(x);}
inline void splay(int x){
	pushall(x);
	while(identify(x)!=-1){
		register int fa=t[x].fa;
		if(identify(fa)==-1)rotate(x);
		else if(identify(x)==identify(fa))rotate(fa),rotate(x);
		else rotate(x),rotate(x);
	}
}
inline int find(int x){
	pushdown(x);
	while(lson)pushdown(x),x=lson;
	return x;
}
inline void access(int x){
	for(register int y=0,z;x;x=t[y=x].fa){
		splay(x);
		if(rson)z=find(rson),modify(1,1,n,dfn[z],dfn[z]+sz[z]-1,1);
		rson=y;
		if(y)z=find(y),modify(1,1,n,dfn[z],dfn[z]+sz[z]-1,-1);
		pushup(x);
	}
}
#undef lson
#undef rson
//---------------------------------------------------------
int main(){
	scanf("%d%d",&n,&m),memset(head,-1,sizeof(head));
	for(int i=1,x,y;i<n;i++)scanf("%d%d",&x,&y),ae(x,y);
	dfs(1,0),build(1,1,n);
	for(int i=1,t1,t2,t3;i<=m;i++){
		scanf("%d%d",&t1,&t2);
		if(t1==1)access(t2);
		if(t1==2){
			scanf("%d",&t3);
			int lca=LCA(t2,t3);
			lca=query(1,1,n,dfn[lca],dfn[lca]);
			t2=query(1,1,n,dfn[t2],dfn[t2]);
			t3=query(1,1,n,dfn[t3],dfn[t3]);
			printf("%d\n",t2+t3-2*lca+1);
		}
		if(t1==3)printf("%d\n",query(1,1,n,dfn[t2],dfn[t2]+sz[t2]-1));
	}
	return 0;
}