[BJOI2014]大融合
XI.[BJOI2014]大融合
终于来了……我们终于要用LCT来维护子树信息了。
因为我们看到，LCT是通过将原树拆成一堆链而起效的。在树链剖分中，我们通过dfs序来访问一棵子树；但是因为LCT的链是动态变化的，因此并没有一组固定的访问顺序。
那怎么办呢？
我们考虑最原始的想法：对于每个节点，再额外维护所有虚子节点的状态。比如说，本题我们维护的就是虚子节点的子树大小之和。
我们设 t[x].s1 表示一个节点所有子节点（不管虚实）的子树大小之和，即在原树中，它自己的子树大小。再设 t[x].s2 为所有虚子节点的大小之和。
那么，pushup 函数将会长成这样：
void pushup(int x){
t[x].s1=t[x].s2+t[lson].s1+t[rson].s1+1;
}
我们再考虑其它函数会有什么变化。显然，只有当节点间的虚实关系（边由实转序、连边、断边等）发生变化时，s2 才会发生变化。
splay 函数：在同一棵实splay中操作，没有虚实关系变化。
access 函数：有变化！
我们拎出来 access 函数：
void access(int x){
for(int y=0;x;x=t[y=x].fa)splay(x),rson=y,pushup(x);
}
可以看到，我们有 rson=y ，虚实关系产生了变化！！！
对于\(rson\)，这是实转虚，s2 应该加上\(rson\)的 s1 ；对于\(y\)，这是虚转实，s2 应该减去\(y\)的 s1 。
因此我们最终有：
void access(int x){
for(int y=0;x;x=t[y=x].fa)splay(x),t[x].s2+=t[rson].s1-t[y].s1,rson=y,pushup(x);
}
makeroot ， findroot， split 函数：并没有虚实变化（变化全在函数内调用的 access 函数，已经在 access 时改过了），没有变化。
link ：情况有变！我们这时必须要将\(y\)的 s2 加上\(x\)的 s1 ，因为\(x\)成为了\(y\)的虚儿子！
但是，\(y\)一变，\(y\)的父亲也要跟着变，\(y\)的爷爷也是……
我们有办法。直接将\(y\) access 后移到\(root\)（注意是splay的\(root\)，不是整棵树的\(ROOT\)），这样\(y\)就没有父亲了！
因此我们的 link 函数就变成了这样：
void link(int x,int y){
split(x,y);
t[y].s2+=t[x].s1;
t[x].fa=y;
pushup(y);
}
等等，哪来的 split ？
偷懒一下，我们只是把 makeroot(x),access(y),splay(y) 三合一。实际上\(x\)和\(y\)并不连通。
至于 cut ，这题并不需要。不过代码还是放出来：
void cut(int x,int y){
split(x,y);
t[x].fa=t[y].ch[0]=0;
pushup(y);
}
然后，当我们要求出一个节点\(x\)的子树大小时：
int query(int x,int y){
split(x,y);
return t[x].s1;
}
其中\(y\)就是指定的\(x\)的父亲（不然不知道是哪颗子树），在这题中就是给定询问的边的另一端点。
完整版放出：
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define lson t[x].ch[0]
#define rson t[x].ch[1]
int n,m;
struct node{
int ch[2],s1,s2,fa;
bool rev;
}t[100100];
int identify(int x){
if(t[t[x].fa].ch[0]==x)return 0;
if(t[t[x].fa].ch[1]==x)return 1;
return -1;
}
void pushup(int x){
t[x].s1=t[x].s2+t[lson].s1+t[rson].s1+1;
}
void REV(int x){
t[x].rev^=1,swap(lson,rson);
}
void pushdown(int x){
if(!t[x].rev)return;
if(lson)REV(lson);
if(rson)REV(rson);
t[x].rev=0;
}
void rotate(int x){
int y=t[x].fa;
int z=t[y].fa;
int dirx=identify(x);
int diry=identify(y);
int b=t[x].ch[!dirx];
if(diry!=-1)t[z].ch[diry]=x;t[x].fa=z;
if(b)t[b].fa=y;t[y].ch[dirx]=b;
t[x].ch[!dirx]=y,t[y].fa=x;
pushup(y),pushup(x);
}
void pushall(int x){
if(identify(x)!=-1)pushall(t[x].fa);
pushdown(x);
}
void splay(int x){
pushall(x);
while(identify(x)!=-1){
int fa=t[x].fa;
if(identify(fa)==-1)rotate(x);
else if(identify(fa)==identify(x))rotate(fa),rotate(x);
else rotate(x),rotate(x);
}
}
void access(int x){
for(int y=0;x;x=t[y=x].fa)splay(x),t[x].s2+=t[rson].s1-t[y].s1,rson=y,pushup(x);
}
void makeroot(int x){
access(x),splay(x),REV(x);
}
int findroot(int x){
access(x),splay(x);
pushdown(x);
while(lson)x=lson,pushdown(x);
splay(x);
return x;
}
void split(int x,int y){
makeroot(x),access(y),splay(y);
}
void link(int x,int y){
split(x,y);
t[y].s2+=t[x].s1;
t[x].fa=y;
}
int query(int x,int y){
split(x,y);
return t[x].s1;
}
int main(){
scanf("%d%d",&n,&m);
for(int i=1,x,y;i<=m;i++){
char s[10];
scanf("%s%d%d",s,&x,&y);
if(s[0]=='A')link(x,y);
else printf("%lld\n",1ll*query(x,y)*query(y,x));
}
return 0;
}
