[SHOI2014]三叉神经树

VII.[SHOI2014]三叉神经树

LCT相较于树剖，最大的优势就是可以把一条链上的东西全整到一个splay里面，不像树剖在多个重链进行合并时会有很大麻烦。更好的是，LCT复杂度是$O(n\log n)$的，树剖不仅码量大，思路复杂，复杂度还是恶心的$O(n\log^2n)$。

这题就是典型的树剖被LCT全方面完爆。

首先，这道题要考阅读理解。翻译一下，就是给你一棵树，树上的每个节点要么有三个儿子，要么是叶子。每个叶子初始时有一个或$0$或$1$的权值。每个非叶子节点的权值由它三个儿子的权值决定，$0$和$1$在它儿子中占比更多的那一个即是它的权值。现在我们每次修改一个叶子的权值，要你输出修改后根的输出。

我们可以发现，在修改一个叶子时，只有叶子到根的这条路径上点会受到影响。并且，影响必定是连续的一段，一旦有一个点没有被修改，那这次修改就到头了。

设一个节点三个儿子的权值和为$sum$，则如果$sum>1$，这个节点输出为$1$；否则，为$0$。

则每次修改，假设是$0$改$1$，只有从叶子到根的一段连续的$sum$为$1$的点才会被修改。$sum$为$0$的，多一个$1$的儿子只会让$sum$变成$1$，输出还是$0$；$sum$为$2$或$3$的，更不用说了，$sum$增加它的权值还是$1$。只有$sum$为$1$的会受到影响。

则我们只需要维护路径上深度最大的非$1$节点。这样，比它深的所有节点都有修改。

对于我们修改一个叶子节点$x$时：

令它的父亲为$y$。则我们$access(y)$，打通从$y$到$ROOT$的路径。

等等，为什么是$y$？不应该是$x$吗？

因为$x$的输入不由$sum_x$决定，你要是这么$access(x)$会让$x$变成普通节点，由它的$sum_x$决定，而$sum_x$始终为$0$。

并且，如果这样的话，我们就不能直接找到$x$的父亲，因为同一splay中的父亲不一定是真父亲。

我们$access(y)$后，$splay(y)$，并找到维护的非$1$节点的位置，设为$id_1$。

如果$id_1$不存在，说明从叶子到根这一整条路径上所有的点都得改，直接在$y$上打$tag$。

否则，设$z=id_1$。则$splay(z)$后，$z$的右儿子即是我们修改的目标。我们直接在$z$的右儿子上打$tag$，同时更新$z$的$sum$。

现在我们来讨论一下怎么维护$id$。

先上函数：

void pushup(int x){
	if(t[rson].id[1])t[x].id[1]=t[rson].id[1];
	else if(t[x].sum!=1)t[x].id[1]=x;
	else t[x].id[1]=t[lson].id[1];
	if(t[rson].id[2])t[x].id[2]=t[rson].id[2];
	else if(t[x].sum!=2)t[x].id[2]=x;
	else t[x].id[2]=t[lson].id[2];
}

因为深度越大越靠右，我们转移时优先选择右儿子，其次自己，最次左儿子。

至于这个$id_2$，则是在叶子节点的输入由$1$转$0$时用的，因为由$1$转$0$只会影响到$sum=2$的节点。

代码：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define lson t[x].ch[0]
#define rson t[x].ch[1]
int n,m,in[1501000],ans;
struct LCT{
	int ch[2],id[3],fa,sum,tag,val;
}t[1501000];
int identify(int x){
	if(t[t[x].fa].ch[0]==x)return 0;
	if(t[t[x].fa].ch[1]==x)return 1;
	return -1;
}
void pushup(int x){
	if(t[rson].id[1])t[x].id[1]=t[rson].id[1];
	else if(t[x].sum!=1)t[x].id[1]=x;
	else t[x].id[1]=t[lson].id[1];
	if(t[rson].id[2])t[x].id[2]=t[rson].id[2];
	else if(t[x].sum!=2)t[x].id[2]=x;
	else t[x].id[2]=t[lson].id[2];
}
void modi(int x,int tag){
	t[x].sum+=tag,t[x].val=(t[x].sum>1);
	swap(t[x].id[1],t[x].id[2]);
	t[x].tag+=tag;
}
void pushdown(int x){
	if(!t[x].tag)return;
	if(lson)modi(lson,t[x].tag);
	if(rson)modi(rson,t[x].tag);
	t[x].tag=0;
}
void rotate(int x){
	int y=t[x].fa;
	int z=t[y].fa;
	int dirx=identify(x);
	int diry=identify(y);
	int b=t[x].ch[!dirx];
	if(diry!=-1)t[z].ch[diry]=x;t[x].fa=z;
	if(b)t[b].fa=y;t[y].ch[dirx]=b;
	t[x].ch[!dirx]=y,t[y].fa=x;
	pushup(y),pushup(x);
}
void pushall(int x){
	if(identify(x)!=-1)pushall(t[x].fa);
	pushdown(x);
}
void splay(int x){
	pushall(x);
	while(identify(x)!=-1){
		int fa=t[x].fa;
		if(identify(fa)==-1)rotate(x);
		else if(identify(fa)==identify(x))rotate(fa),rotate(x);
		else rotate(x),rotate(x);
	}
	pushup(x);
}
void access(int x){
	for(int y=0;x;x=t[y=x].fa)splay(x),rson=y,pushup(x);
}
queue<int>q;
int main(){
	scanf("%d",&n);
	for(int i=1,t1,t2,t3;i<=n;i++)scanf("%d%d%d",&t1,&t2,&t3),t[t1].fa=t[t2].fa=t[t3].fa=i,in[i]=3;
	for(int i=n+1;i<=3*n+1;i++)scanf("%d",&t[i].val),q.push(i);
	while(!q.empty()){
		int x=q.front();q.pop();
		if(!t[x].fa)continue;
		if(x<=n)pushup(x); 
		t[t[x].fa].sum+=t[x].val,in[t[x].fa]--;
		if(!in[t[x].fa])t[t[x].fa].val=(t[t[x].fa].sum>1),q.push(t[x].fa);
	}
	ans=t[1].val;
	scanf("%d",&m);
	for(int i=1,x,y,z;i<=m;i++){
		scanf("%d",&x),y=t[x].fa;
		access(y),splay(y);
		int dir=t[x].val?2:1,val=t[x].val?-1:1;
		if(t[y].id[dir]){
			z=t[y].id[dir];
			splay(z);
			modi(t[z].ch[1],val),pushup(t[z].ch[1]);
			t[z].sum+=val,t[z].val=(t[z].sum>1),pushup(z);
		}else modi(y,val),ans^=1,pushup(y);
		t[x].val^=1;
		printf("%d\n",ans);
	}
	return 0;
}