[NOI2014]魔法森林

IV.[NOI2014]魔法森林

前三题都是模板，是为了让我们练手的。

这题才是真正的挑战。

首先，一看这题既不加边也不删边，甚至连树都不是，还是道静态题，并且长得还贼像最小生成树，我就纳闷了，这是LCT？

还真是。

我们可以将边按照$a$排序。之后，我们维护一个关于$b$权值的动态最小生成树。

具体做法是，建立一个LCT，这个LCT维护的是最大值的下标。之后，按照$a$递增的顺序遍历所有的边。如果这条边连接了两块尚未被连接的区域，那不要废话直接连；否则，这肯定构成一个环。我们在LCT中$split$出来这个环在当前MST上的部分，并找到这里面的最大值的位置。如果最大值比当前这条边的$b$还要大，那么断掉最大值的边并用当前边代替肯定更优。因此我们就这么做。在每加完一条边后，如果当前节点$1$和节点$n$是连通的，那么$split(1,n)$，并将（当前的$a$+[$1-n$链上的最大值]）与当前答案取$\min$。

哦，另外，为了将边权转成点权，我们将每条边视作一个点

核心代码：

for(int i=1;i<=n+m;i++)t[i].val=0,t[i].mx=dsu[i]=i;
for(int i=n+1;i<=n+m;i++)t[i].val=e[i-n].b;
for(int i=1;i<=m;i++){
	if(merge(e[i].x,e[i].y))link(e[i].x,n+i),link(n+i,e[i].y);
	else{
		int pos=split(e[i].x,e[i].y);
		if(t[pos].val<e[i].b)continue;
		cut(pos,e[pos-n].x),cut(pos,e[pos-n].y);
		link(e[i].x,n+i),link(n+i,e[i].y);
	}
	if(find(1)==find(n))res=min(res,e[i].a+t[split(1,n)].val);
}

应该比较好理解不然我怎么能1A

总代码：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define lson t[x].ch[0]
#define rson t[x].ch[1]
int n,m,dsu[500100],res=0x3f3f3f3f;
int find(int x){
	return dsu[x]==x?x:dsu[x]=find(dsu[x]);
}
bool merge(int x,int y){
	x=find(x),y=find(y);
	if(x==y)return false;
	dsu[x]=y;
	return true;
}
struct edge{
	int x,y,a,b;
	friend bool operator <(const edge &u,const edge &v){
		return u.a<v.a;
	}
}e[100100];
struct LCT{
	int ch[2],fa,val,mx;
	bool rev;
}t[500100];
void pushup(int x){
	t[x].mx=x;
	if(t[t[x].mx].val<t[t[lson].mx].val)t[x].mx=t[lson].mx;
	if(t[t[x].mx].val<t[t[rson].mx].val)t[x].mx=t[rson].mx;
}
void REV(int x){
	t[x].rev^=1,swap(lson,rson);
}
void pushdown(int x){
	if(!t[x].rev)return;
	if(lson)REV(lson);
	if(rson)REV(rson);
	t[x].rev=false;
}
int identify(int x){
	if(t[t[x].fa].ch[0]==x)return 0;
	if(t[t[x].fa].ch[1]==x)return 1;
	return -1;
}
void rotate(int x){
	int y=t[x].fa;
	int z=t[y].fa;
	int dirx=identify(x);
	int diry=identify(y);
	int b=t[x].ch[!dirx];
	if(diry!=-1)t[z].ch[diry]=x;t[x].fa=z;
	if(b)t[b].fa=y;t[y].ch[dirx]=b;
	t[x].ch[!dirx]=y,t[y].fa=x;
	pushup(y),pushup(x);
}
void pushall(int x){
	if(identify(x)!=-1)pushall(t[x].fa);
	pushdown(x);
}
void splay(int x){
	pushall(x);
	while(identify(x)!=-1){
		int fa=t[x].fa;
		if(identify(fa)==-1)rotate(x);
		else if(identify(fa)==identify(x))rotate(fa),rotate(x);
		else rotate(x),rotate(x);
	}
}
void access(int x){
	for(int y=0;x;x=t[y=x].fa)splay(x),rson=y,pushup(x);
}
void makeroot(int x){
	access(x),splay(x),REV(x);
}
int findroot(int x){
	access(x),splay(x);
	pushdown(x);
	while(lson)x=lson,pushdown(x);
	splay(x);
	return x;
}
int split(int x,int y){
	makeroot(x),access(y),splay(y);
	return t[y].mx;
}
void link(int x,int y){
	makeroot(x),t[x].fa=y;
}
void cut(int x,int y){
	split(x,y),t[x].fa=t[y].ch[0]=0,pushup(y);
}
int main(){
	scanf("%d%d",&n,&m);
	for(int i=1;i<=m;i++)scanf("%d%d%d%d",&e[i].x,&e[i].y,&e[i].a,&e[i].b);
	sort(e+1,e+m+1);
	for(int i=1;i<=n+m;i++)t[i].val=0,t[i].mx=dsu[i]=i;
	for(int i=n+1;i<=n+m;i++)t[i].val=e[i-n].b;
	for(int i=1;i<=m;i++){
		if(merge(e[i].x,e[i].y))link(e[i].x,n+i),link(n+i,e[i].y);
		else{
			int pos=split(e[i].x,e[i].y);
			if(t[pos].val<e[i].b)continue;
			cut(pos,e[pos-n].x),cut(pos,e[pos-n].y);
			link(e[i].x,n+i),link(n+i,e[i].y);
		}
		if(find(1)==find(n))res=min(res,e[i].a+t[split(1,n)].val);
	}
	if(res==0x3f3f3f3f)puts("-1");
	else printf("%d\n",res);
	return 0;
}