[CSACADEMY]Root Change

CVI.[CSACADEMY]Root Change

常规换根DP。设 \(f_i\) 表示 \(i\) 子树中以 \(i\) 为起点的最长路径长度，设 \(sz_i\) 表示 \(i\) 子树中边的数量，再设 \(g_i\) 表示 \(i\) 子树的答案。

则 \(f\) 和 \(sz\) 显然很好转移。考虑 \(g\)，则有

\[g_i=\begin{cases}sz_i&(\text{存在两个以上的儿子具有最长路径})\\sz_i+\Big(g_j-(sz_j+1)\Big)&(\text{具有最长路径的儿子}j\text{唯一})\end{cases} \]

于是直接上 multiset 暴力换根即可。时间复杂度 \(O(n\log n)\)。

代码：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n,f[100100],g[100100],sz[100100];
vector<int>v[100100];
multiset<pair<int,int> >s[100100];
multiset<int>t[100100];
void dfs1(int x,int fa){
	for(auto y:v[x])if(y!=fa)dfs1(y,x),f[x]=max(f[x],f[y]+1),sz[x]+=sz[y]+1,s[x].insert(make_pair(f[y]+1,g[y]-(sz[y]+1))),t[x].insert(f[y]+1);
	g[x]=sz[x];
	if(s[x].size()==1||s[x].size()>=2&&s[x].rbegin()->first!=(++s[x].rbegin())->first)g[x]+=s[x].rbegin()->second;
}
void dfs2(int x,int fa){
	for(auto y:v[x]){
		if(y==fa)continue;
		int fx=0,szx=sz[x]-sz[y]-1;
		t[x].erase(t[x].find(f[y]+1));
		if(!t[x].empty())fx=*t[x].rbegin();
		t[x].insert(f[y]+1);
		int gx=szx;
		s[x].erase(s[x].find(make_pair(f[y]+1,g[y]-(sz[y]+1))));
		if(s[x].size()==1||s[x].size()>=2&&s[x].rbegin()->first!=(++s[x].rbegin())->first)gx+=s[x].rbegin()->second;
		s[x].insert(make_pair(f[y]+1,g[y]-(sz[y]+1)));
		
		t[y].insert(fx+1);
		s[y].insert(make_pair(fx+1,gx-(szx+1)));
		sz[y]+=szx+1;
		f[y]=*t[y].rbegin();
		g[y]=sz[y];
		if(s[y].size()==1||s[y].size()>=2&&s[y].rbegin()->first!=(++s[y].rbegin())->first)g[y]+=s[y].rbegin()->second;
		dfs2(y,x);
	}
}
int main(){
	scanf("%d",&n);
	for(int i=1,x,y;i<n;i++)scanf("%d%d",&x,&y),v[x].push_back(y),v[y].push_back(x);
	dfs1(1,0),dfs2(1,0);
	for(int i=1;i<=n;i++)printf("%d\n",g[i]);
	return 0;
}