CF938F Erasing Substrings

LXXXVII.CF938F Erasing Substrings

一个naive的想法是设$f_{i,j}$表示在位置$[1,i]$中，我们删去了长度为$2^k(k\in j)$的一些串，所能得到的最小字典序。使用二分+hash可以做到$O(n^2\log^2 n)$，无法承受。

发现对于状态$f_{i,j}$，它已经确定了$i-j$位的串（因为所有$\in j$的$2^k$之和就是$j$）；而依据字典序的性质，只有这$i-j$位所表示的字典序最小的那些状态，才会成为最终的答案。（当然，前提是状态$f_{i,j}$合法，即剩下的部分中可以安放下尚未被删去的串）

于是我们就可以考虑直接令$f_{i,j}$表示在所有长度为$i-j$的串中，它是否是字典序最小的串之一；然后，就可以按照$i-j$递增的顺序进行DP。你自然可以倒着复原出路径，但是更好的方法是在DP第$i-j$位的时候，当我们找出了这位最小能填入什么字符后，直接输出。

下面我们考虑转移。一种情况是$f_{i,j}\rightarrow f_{i+1,j}$，此时是第$i+1$位被保留下来，因此这个转移的前提是第$i+1$位上可以填入最小的字符；

还有一种情况就是第$i+1$位被删去，于是我们枚举$k\notin j$，直接转移即可。

注意到代码实现与此处描述有一些区别——描述中的递推式是刷表法，而代码中的递推式是填表法；同时，代码中的DP顺序上文已经提到，是$i-j$递增的顺序。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n,m,all;
bool f[5010][5010];//f[i][j]:after erasing strings in j from the section [1,i-1], whether the (i-j) prefix can be the minimum or not
char s[5010];
int main(){
	scanf("%s",s+1),n=strlen(s+1);
	while((2<<m)<=n)m++;all=(1<<m);
	for(int i=0;i<all;i++)f[i][i]=true;//initial state:erasing all i characters in the prefix
	for(int i=1;i<=n-all+1;i++){
		char lim=127;
		for(int j=i;j<i+all;j++)if(f[j-1][j-i])lim=min(lim,s[j]);//find the minimum on the (i+1)-th character
		putchar(lim);
		for(int j=i;j<i+all;j++)f[j][j-i]=(f[j-1][j-i]&&(s[j]==lim));//leave j+1 empty
		for(int j=i;j<i+all;j++)for(int k=0;k<m;k++)if((j-i)&(1<<k))f[j][j-i]|=f[j-(1<<k)][j-i-(1<<k)];//put something on j+1
	}
	return 0;
}