[AGC013D] Piling Up

LXXIX.[AGC013D] Piling Up

一个很naive的思路就是设$f[i][j]$表示当前进行了$i$步，并且盒子中剩下了$j$个白球的方案数，然后直接DP即可。

但是这样是有问题的——它没有考虑到重复计算的问题。

我们不妨令$+$符号表示取出黑球，$-$符号表示取出白球。

则一种方式是$6\xrightarrow{+-}6\xrightarrow{--}5$，其中数字表示剩余白球数。

另一种方式是$4\xrightarrow{+-}4\xrightarrow{--}3$。很明显，两者即使盒中球数不同，但是序列是相同的。

为了避免重复计算，我们可以强制要求只有过程中出现过$0$的序列才是合法序列。

于是我们可以设$f[i][j][0/1]$表示进行$i$步，盒子中剩下$j$个白球，且（没有/有）到过$0$的方案数。则答案即为$\sum\limits_{i=0}^nf[m][i][1]$。

要注意的是，这里的转移过程必须保证任意时刻球的数量必须在$[0,n]$范围之内，因此对于不合法的状态要记得特判掉。

复杂度$O(nm)$。

代码：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int mod=1e9+7;
int n,m,f[3010][3010][2],res;//0: haven't reached 0; 1:have reached 0
int main(){
	scanf("%d%d",&n,&m);
	for(int i=0;i<=n;i++)f[0][i][i==0]=1;
	for(int i=0;i<m;i++)for(int j=0;j<=n;j++){
		if(j)(f[i+1][j][j==1]+=f[i][j][0])%=mod,(f[i+1][j][1]+=f[i][j][1])%=mod;//-+
		if(j)(f[i+1][j-1][j==1]+=f[i][j][0])%=mod,(f[i+1][j-1][1]+=f[i][j][1])%=mod;//--;
		if(j<n)(f[i+1][j][0]+=f[i][j][0])%=mod,(f[i+1][j][1]+=f[i][j][1])%=mod;//+-;
		if(j<n)(f[i+1][j+1][0]+=f[i][j][0])%=mod,(f[i+1][j+1][1]+=f[i][j][1])%=mod;//++;
	}
	for(int i=0;i<=n;i++)(res+=f[m][i][1])%=mod;
	printf("%d\n",res);
	return 0;
}