CF908D New Year and Arbitrary Arrangement
LXII.CF908D New Year and Arbitrary Arrangement
思路:
期望题果然还是恶心呀……
我们设表示当串中有个a
和个ab
时的方案数。为了方便,设。
显然,可以这样转移:
因为,如果串后面加上一个a
,概率是,并且加完后唯一的影响就是;如果加入一个b
,概率是,加完后前面每一个a
都会与这个b
形成一对ab
。
那么边界条件呢?
显然,当时,只要再往后面加入一个b
,过程就停止了。
则这个的期望长度应该是:
其中,枚举的这个是在终于搞出一个b
前,所刷出的a
的数量。
为了方便,我们设,并用替换。即:
因为,我们可以用代。
即:
拆开括号得
一上来直接有些不直观,我们用替换掉。
在第二个式子里面用代掉
将第一个中的情况和第二个中的情况分别提出
合并两个
套等比数列求和公式(注意要先提出一个使首项为)
注意到
现在,考虑的情况。即:
注意到,因此
带入发现
处理一下
注意到我们一开始的定义了吗?
以及
代入得
也就是说,边界条件就是!!!
再搬出我们一开始的转移式
完事。
哦,另外,还要思考一下答案到底是还是。
因为一开始的那些b
,无论来多少个都是没用的,因此不如直接从开始。(事实上,你如果把转移式代回去或者打个表的话,你会发现就有)
复杂度。
代码:
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n,a,b,A,B,f[1010][1010],c;
const int mod=1e9+7;
int ksm(int x,int y){
int z=1;
for(;y;x=(1ll*x*x)%mod,y>>=1)if(y&1)z=(1ll*z*x)%mod;
return z;
}
int dfs(int x,int y){
if(x+y>=n)return x+y+c;
if(f[x][y]!=-1)return f[x][y];
int &res=f[x][y];res=0;
(res+=1ll*dfs(x+1,y)*A%mod)%=mod;
(res+=1ll*dfs(x,x+y)*B%mod)%=mod;
return res;
}
int main(){
scanf("%d%d%d",&n,&a,&b),A=1ll*a*ksm(a+b,mod-2)%mod,B=1ll*b*ksm(a+b,mod-2)%mod,c=1ll*a*ksm(b,mod-2)%mod,memset(f,-1,sizeof(f));
printf("%d\n",dfs(1,0));
return 0;
}
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