CF908D New Year and Arbitrary Arrangement

LXII.CF908D New Year and Arbitrary Arrangement

思路：

期望题果然还是恶心呀……

我们设$f[i][j]$表示当串中有$i$个a和$j$个ab时的方案数。为了方便，设$A=\dfrac{P_a}{P_a+P_b},B=\dfrac{P_b}{P_a+P_b}$。

显然，可以这样转移：

$f[i][j]=f[i+1][j]*A+f[i][i+j]*B$

因为，如果串后面加上一个a，概率是$A$，并且加完后唯一的影响就是$i+1$；如果加入一个b，概率是$B$，加完后前面每一个a都会与这个b形成一对ab。

那么边界条件呢？

显然，当$i+j\geq k$时，只要再往后面加入一个b，过程就停止了。

则这个的期望长度应该是：

$B*\sum\limits_{a=0}^{\infty}(i+j+a)*A^a$

其中，枚举的这个$a$是在终于搞出一个b前，所刷出的a的数量。

为了方便，我们设$i+j=c$，并用$i$替换$a$。即：

$B*\sum\limits_{i=0}^{\infty}(c+i)*A^i$

因为$A+B=1$，我们可以用$(1-A)$代$B$。

即：

$(1-A)*\sum\limits_{i=0}^{\infty}(c+i)*A^i$

拆开括号得

$\sum\limits_{i=0}^{\infty}(c+i)*A^i-\sum\limits_{i=0}^{\infty}(c+i)*A^{i+1}$

一上来直接$\infty$有些不直观，我们用$n$替换掉。

$\sum\limits_{i=0}^n(c+i)*A^i-\sum\limits_{i=0}^n(c+i)*A^{i+1}$

在第二个式子里面用$i+1$代掉$i$

$\sum\limits_{i=0}^n(c+i)*A^i-\sum\limits_{i=1}^{n+1}(c+i-1)*A^i$

将第一个$\Sigma$中$i=0$的情况和第二个$\Sigma$中$i=n+1$的情况分别提出

$c+\sum\limits_{i=1}^n(c+i)*A^i-\sum\limits_{i=1}^n(c+i-1)*A^i-(c+n)*A^{n+1}$

合并两个$\Sigma$

$c+\sum\limits_{i=1}^nA^i-(c+n)*A^{n+1}$

套等比数列求和公式（注意要先提出一个$A$使首项为$1$）

$c+A*\dfrac{1-A^n}{1-A}-(c+n)*A^{n+1}$

注意到$1-A=B$

$c+A*\dfrac{1-A^n}{B}-(c+n)*A^{n+1}$

现在，考虑$n\rightarrow\infty$的情况。即：

$\lim\limits_{n\rightarrow\infty}c+A*\dfrac{1-A^n}{B}-(c+n)*A^{n+1}$

注意到$0<A<1$，因此$\lim\limits_{n\rightarrow\infty}A^n=0$

带入发现

$c+A*\dfrac{1-0}{B}-(c+n)*0$

处理一下

$c+\dfrac{A}{B}$

注意到我们一开始的定义了吗？

$A=\dfrac{P_a}{P_a+P_b},B=\dfrac{P_b}{P_a+P_b}$

以及$c=i+j$

代入得

$i+j+\dfrac{P_a}{P_b}$

也就是说，边界条件就是$f[i][j]=i+j+\dfrac{P_a}{P_b}(i+j\geq k)$！！！

再搬出我们一开始的转移式

$f[i][j]=f[i+1][j]*A+f[i][i+j]*B$

完事。

哦，另外，还要思考一下答案到底是$f[0][0]$还是$f[1][0]$。

因为一开始的那些b，无论来多少个都是没用的，因此不如直接从$f[1][0]$开始。（事实上，你如果把转移式代回去或者打个表的话，你会发现就有$f[0][0]=f[1][0]$）

复杂度$O(k^2+\log mod)$。

代码：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n,a,b,A,B,f[1010][1010],c;
const int mod=1e9+7;
int ksm(int x,int y){
    int z=1;
    for(;y;x=(1ll*x*x)%mod,y>>=1)if(y&1)z=(1ll*z*x)%mod;
    return z;
}
int dfs(int x,int y){
    if(x+y>=n)return x+y+c;
    if(f[x][y]!=-1)return f[x][y];
    int &res=f[x][y];res=0;
    (res+=1ll*dfs(x+1,y)*A%mod)%=mod;
    (res+=1ll*dfs(x,x+y)*B%mod)%=mod;
    return res;
}
int main(){
    scanf("%d%d%d",&n,&a,&b),A=1ll*a*ksm(a+b,mod-2)%mod,B=1ll*b*ksm(a+b,mod-2)%mod,c=1ll*a*ksm(b,mod-2)%mod,memset(f,-1,sizeof(f));
    printf("%d\n",dfs(1,0));
    return 0;
}