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CF908D New Year and Arbitrary Arrangement

LXII.CF908D New Year and Arbitrary Arrangement

思路:

期望题果然还是恶心呀……

我们设f[i][j]表示当串中有iajab时的方案数。为了方便,设A=\dfrac{P_a}{P_a+P_b},B=\dfrac{P_b}{P_a+P_b}

显然,可以这样转移:

f[i][j]=f[i+1][j]*A+f[i][i+j]*B

因为,如果串后面加上一个a,概率是A,并且加完后唯一的影响就是i+1;如果加入一个b,概率是B,加完后前面每一个a都会与这个b形成一对ab

那么边界条件呢?

显然,当i+j\geq k时,只要再往后面加入一个b,过程就停止了。

则这个的期望长度应该是:

B*\sum\limits_{a=0}^{\infty}(i+j+a)*A^a

其中,枚举的这个a是在终于搞出一个b前,所刷出的a的数量。

为了方便,我们设i+j=c,并用i替换a。即:

B*\sum\limits_{i=0}^{\infty}(c+i)*A^i

因为A+B=1,我们可以用(1-A)B

即:

(1-A)*\sum\limits_{i=0}^{\infty}(c+i)*A^i

拆开括号得

\sum\limits_{i=0}^{\infty}(c+i)*A^i-\sum\limits_{i=0}^{\infty}(c+i)*A^{i+1}

一上来直接\infty有些不直观,我们用n替换掉。

\sum\limits_{i=0}^n(c+i)*A^i-\sum\limits_{i=0}^n(c+i)*A^{i+1}

在第二个式子里面用i+1代掉i

\sum\limits_{i=0}^n(c+i)*A^i-\sum\limits_{i=1}^{n+1}(c+i-1)*A^i

将第一个\Sigmai=0的情况和第二个\Sigmai=n+1的情况分别提出

c+\sum\limits_{i=1}^n(c+i)*A^i-\sum\limits_{i=1}^n(c+i-1)*A^i-(c+n)*A^{n+1}

合并两个\Sigma

c+\sum\limits_{i=1}^nA^i-(c+n)*A^{n+1}

套等比数列求和公式(注意要先提出一个A使首项为1

c+A*\dfrac{1-A^n}{1-A}-(c+n)*A^{n+1}

注意到1-A=B

c+A*\dfrac{1-A^n}{B}-(c+n)*A^{n+1}

现在,考虑n\rightarrow\infty的情况。即:

\lim\limits_{n\rightarrow\infty}c+A*\dfrac{1-A^n}{B}-(c+n)*A^{n+1}

注意到0<A<1,因此\lim\limits_{n\rightarrow\infty}A^n=0

带入发现

c+A*\dfrac{1-0}{B}-(c+n)*0

处理一下

c+\dfrac{A}{B}

注意到我们一开始的定义了吗?

A=\dfrac{P_a}{P_a+P_b},B=\dfrac{P_b}{P_a+P_b}

以及c=i+j

代入得

i+j+\dfrac{P_a}{P_b}

也就是说,边界条件就是f[i][j]=i+j+\dfrac{P_a}{P_b}(i+j\geq k)!!!

再搬出我们一开始的转移式

f[i][j]=f[i+1][j]*A+f[i][i+j]*B

完事。

哦,另外,还要思考一下答案到底是f[0][0]还是f[1][0]

因为一开始的那些b,无论来多少个都是没用的,因此不如直接从f[1][0]开始。(事实上,你如果把转移式代回去或者打个表的话,你会发现就有f[0][0]=f[1][0]

复杂度O(k^2+\log mod)

代码:

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n,a,b,A,B,f[1010][1010],c;
const int mod=1e9+7;
int ksm(int x,int y){
    int z=1;
    for(;y;x=(1ll*x*x)%mod,y>>=1)if(y&1)z=(1ll*z*x)%mod;
    return z;
}
int dfs(int x,int y){
    if(x+y>=n)return x+y+c;
    if(f[x][y]!=-1)return f[x][y];
    int &res=f[x][y];res=0;
    (res+=1ll*dfs(x+1,y)*A%mod)%=mod;
    (res+=1ll*dfs(x,x+y)*B%mod)%=mod;
    return res;
}
int main(){
    scanf("%d%d%d",&n,&a,&b),A=1ll*a*ksm(a+b,mod-2)%mod,B=1ll*b*ksm(a+b,mod-2)%mod,c=1ll*a*ksm(b,mod-2)%mod,memset(f,-1,sizeof(f));
    printf("%d\n",dfs(1,0));
    return 0;
}

posted @   Troverld  阅读(91)  评论(0编辑  收藏  举报
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