CF285E Positions in Permutations

LIII.CF285E Positions in Permutations

神题orz……

我也是第一次听说有个叫二项式反演的神奇东西……

它具体有两个形式：

1. $F(n)=\sum\limits_{i=0}^n(-1)^i\dbinom{n}{i}G(i)\Leftrightarrow G(n)=\sum\limits_{i=0}^n(-1)^i\dbinom{n}{i}F(i)$

2. $F(n)=\sum\limits_{i=0}^n\dbinom{n}{i}G(i)\Leftrightarrow G(n)=\sum\limits_{i=0}^n(-1)^{n-i}\dbinom{n}{i}F(i)$

3. $F(n)=\sum\limits_{i=n}^?(-1)^i\dbinom{i}{n}G(i)\Leftrightarrow G(n)=\sum\limits_{i=n}^?(-1)^i\dbinom{i}{n}F(i)$

4. $F(n)=\sum\limits_{i=n}^?\dbinom{i}{n}G(i)\Leftrightarrow G(n)=\sum\limits_{i=n}^?(-1)^{i-n}\dbinom{i}{n}F(i)$

这题可以考虑设$G(i)$表示“完美数”恰好为$i$的方案数，再设$F(i)$表示“完美数”$\geq i$的方案数。

肯定有$F(m)=\sum\limits_{i=m}^n?\times G(i)$，其中$?$是某个系数。

则对于$G(i)$中的某种方案，我们需要从$i$个位置中挑出$m$个位置，然后只观察这$m$个位置而忽略其它地方。显然，共有$\dbinom{i}{m}$种方法。

因此有$F(m)=\sum\limits_{i=m}^n\dbinom{i}{m}G(i)$。

套用4，得到$G(m)=\sum\limits_{i=m}^n(-1)^{i-m}\dbinom{i}{m}F(i)$。

考虑DP求$F$。

我们设$f[i][j][k=0/1][l=0/1]$表示：

前$i$位，有$j$个完美数，并且数字$i$选没选的状态是$k$，数字$i+1$选没选的状态是$l$的方案数。

需要注意的是，我们只注意完美的位置，至于其它位置填什么吗……最后阶乘一下。

因此有：

1. 第$i$位是完美位

1.1. 填入$i-1$

则有

$f[i][j][0][0]+=f[i-1][j-1][0][0]$

$f[i][j][1][0]+=f[i-1][j-1][0][1]$

1.2.填入$i+1$

则有

$f[i][j][0][1]+=f[i-1][j-1][0][0]+f[i-1][j-1][1][0]$

$f[i][j][1][1]+=f[i-1][j-1][0][1]+f[i-1][j-1][1][1]$

2. 第$i$位空置

则有

$f[i][j][0][0]+=f[i-1][j][0][0]+f[i-1][j][1][0]$

$f[i][j][1][0]+=f[i-1][j][0][1]+f[i-1][j][1][1]$

然后特殊转移：

1.第$1$位：

1.1.空置：$f[1][0][0][0]=1$

1.2.放$i+1$：$f[1][1][0][1]=1$

（注意，这里不需要特别讨论放$i$的情况——这就是为什么$F(i)$的定义是$\geq i$的方案数）

2.第$n$位

废去1.2.填入$i+1$的方案即可。

最终有$F(i)=(n-i)!(f[n][i][0][0]+f[n][i][1][0])$

因为除了完美位外其它的位置都是可以阶乘随便填的。

然后套我们之前的式子，

$G(m)=\sum\limits_{i=m}^n(-1)^{i-m}\dbinom{i}{m}F(i)$

即可。

（如果要求所有$G(m)$可以直接FFT卷积，不过这题不需要罢了）

代码：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int mod=1e9+7;
int n,m,f[1010][1010][2][2],fac[1010],inv[1010],F[1010],res;
int ksm(int x,int y){
	int z=1;
	for(;y;y>>=1,x=(1ll*x*x)%mod)if(y&1)z=(1ll*z*x)%mod;
	return z;
}
int C(int x,int y){
	return 1ll*fac[x]*inv[y]%mod*inv[x-y]%mod;
}
int main(){
	scanf("%d%d",&n,&m),f[1][0][0][0]=f[1][1][0][1]=1;
	fac[0]=1;
	for(int i=1;i<=n;i++)fac[i]=(1ll*fac[i-1]*i)%mod;
	inv[n]=ksm(fac[n],mod-2);
	for(int i=n-1;i>=0;i--)inv[i]=(1ll*inv[i+1]*(i+1))%mod;
	for(int i=2;i<=n;i++)for(int j=0;j<=i;j++){
		if(j){
			f[i][j][0][0]=f[i-1][j-1][0][0];
			f[i][j][1][0]=f[i-1][j-1][0][1];
			if(i<n)f[i][j][0][1]=(f[i-1][j-1][0][0]+f[i-1][j-1][1][0])%mod;
			if(i<n)f[i][j][1][1]=(f[i-1][j-1][0][1]+f[i-1][j-1][1][1])%mod;
		}
		f[i][j][0][0]=(0ll+f[i][j][0][0]+f[i-1][j][0][0]+f[i-1][j][1][0])%mod;
		f[i][j][1][0]=(0ll+f[i][j][1][0]+f[i-1][j][0][1]+f[i-1][j][1][1])%mod;
	} 
	for(int i=0;i<=n;i++)F[i]=1ll*fac[n-i]*(f[n][i][0][0]+f[n][i][1][0])%mod;
	for(int i=m;i<=n;i++)(res+=(((i-m)&1?-1ll:1ll)*(1ll*C(i,m)*F[i]%mod)+mod)%mod)%=mod;
	printf("%d\n",res);
	return 0;
}