CF888F Connecting Vertices

XLIII.CF888F Connecting Vertices

这个奇怪的限制（两条边不能有交点）让我们想到什么？

对于任何一种方案，不存在$x_0<x_1<y_0<y_1$，其中连边$(x_0,y_0),(x_1,y_1)$。

也就是说，对于任何一段区间$[i,j]$，如果里面所有点全都连通：

要么$i,j$两点之间自己连了条边，此时，存在且仅存在一个$k$，使得区间$[i,k]$和$[k+1,j]$间有且只有$(i,j)$一条边；

要么可以找到一个点$k$，使得区间$[i,k-1]$与$[k+1,j]$之间没有边，并且$k$与两个集合连通。

因此我们可以轻而易举写出：

$(a_{i,j}=1):f[i,j]=\sum\limits_{k=i}^{j} f[i,k]*f[k+1,j]$

$f[i,j]=\sum\limits_{k=i+1}^{j-1} f[i,k]*f[k,j]$

但是这样会出问题：

要么可以找到一个点$k$，使得区间$[i,k-1]$与$[k+1,j]$之间没有边，并且$k$与两个集合连通。

并不表示这样的$k$唯一。例如，$(1,2)\rightarrow(2,3)\rightarrow(3,4)$中，$2$是一个$k$，$3$也是一个$k$，这同一种方案就被算了两边！

因此，我们可以只拿最左边那个$k$为准。即，$i$与$k$直接连边的$k$才是好$k$。

我们新增维数：

设$f[i,j][0/1]$表示：区间$i,j$全部连通，并且$i,j$强制连边/强制不连边。

则有

$(a_{i,j}=1):f[i,j][0]=\sum\limits_{k=i}^{j} (f[i,k][0]+f[i,k][1])*(f[k+1,j][0]+f[k+1,j][1])$

$f[i,j]=\sum\limits_{k=i+1}^{j-1} f[i,k][0]*(f[k,j][0]+f[k,j][1])$。

代码：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int mod=1e9+7;
int n,f[510][510][2];
bool g[510][510];
int main(){
	scanf("%d",&n);
	for(int i=1;i<=n;i++)for(int j=1;j<=n;j++)scanf("%d",&g[i][j]);
	for(int i=1;i<=n;i++)f[i][i][0]=1;
	for(int l=2;l<=n;l++)for(int i=1,j=i+l-1;j<=n;i++,j++){
		if(g[i][j])for(int k=i;k<j;k++)(f[i][j][0]+=1ll*(f[i][k][0]+f[i][k][1])*(f[k+1][j][0]+f[k+1][j][1])%mod)%=mod;
		for(int k=i+1;k<j;k++)if(g[i][k])(f[i][j][1]+=1ll*f[i][k][0]*(f[k][j][0]+f[k][j][1])%mod)%=mod;
	}
	printf("%d\n",(f[1][n][0]+f[1][n][1])%mod);
	return 0;
}