[HNOI2009]双递增序列

XXXII.[HNOI2009]双递增序列

某科学的消减维数

思路1.暴力五维DP：

设\(f[h][i][j][k][l]\)表示：前\(h\)位中，\(U\)有\(i\)位，\(V\)有\(j\)位，\(U\)以\(k\)结尾，\(V\)以\(l\)结尾是否合法。

显然过不去。

思路2.暴力四维DP：

发现必有\(i+j=h\)，因此我们可以消掉\(i\)或\(j\)。

则有设\(f[i][j][k][l]\)表示：前\(i\)位中，\(U\)有\(j\)位，\(U\)以\(k\)结尾，\(V\)以\(l\)结尾是否合法。

思路3.暴力三维DP：

发现\(U\)和\(V\)中必有一个以位置\(i\)为结尾。那么我们可以令「序列1」表示以\(i\)为结尾的那个串，「序列2」表现另一个串。

设\(f[i][j][k]\)表示：前\(i\)位中，「序列1」有\(j\)位，「序列2」以\(k\)结尾是否合法。

思路4.正解二维DP：

当\(f\)数组是一个bool数组时，便有优化的空间。

明显这个\(k\)越小越好。因此我们可以设\(f[i][j]\)表示：前\(i\)位中，「序列1」有\(j\)位，此时「序列2」的结尾最小为\(f[i][j]\)。

代码：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n,T,f[2010][2010],num[2010];
int main(){
	scanf("%d",&T);
	while(T--){
		scanf("%d",&n),num[0]=-1;
		for(int i=1;i<=n;i++)scanf("%d",&num[i]);
		for(int i=1;i<=n;i++)for(int j=1;j<=min(i,n>>1);j++)f[i][j]=0x3f3f3f3f;
//		for(int i=1;i<=n;i++){for(int j=1;j<=min(i,n>>1);j++)printf("%d ",f[i][j]);puts("");}
		for(int i=1;i<=n/2;i++){
			if(num[i]>num[i-1])f[i][i]=-1;
			else break;
		}
		for(int i=1;i<n;i++)for(int j=1;j<=min(i,n/2);j++){
			if(num[i+1]>num[i])f[i+1][j+1]=min(f[i+1][j+1],f[i][j]);
			if(num[i+1]>f[i][j])f[i+1][i+1-j]=min(f[i+1][i+1-j],num[i]);
		}
//		for(int i=1;i<=n;i++){for(int j=1;j<=min(i,n>>1);j++)printf("%d ",f[i][j]);puts("");}
		puts(f[n][n/2]!=0x3f3f3f3f?"Yes!":"No!");
	}
	return 0;
}