[HNOI2010]公交线路

XXIII.[HNOI2010]公交线路

状压+矩乘的好题。

因为每$p$个位置中，每辆车就至少有$1$个位置，

所以我们可以状压一下。

设$f[i][j]$表示：

区间$[i,i+p-1]$内的车站现在的规划情况是$j$的方案数。

显然，必有$j$的第$p$位是$1$，且$j$共有$k$位是$1$（$j$的第$p$位对应着$i$）。

则$f[i][j]=\sum f[i-1][k]$，其中$k$能转移到$j$。

那什么样的$k$能转移到$j$呢？

我们将$k$左移一位（即增加了 $i+p-1$ 一位），然后删去第$p$位的数（即删去第 $i-1$ 位），得到了一个$k'$。

如果$k'$和$j$只相差恰好$1$位，那么$k$就可以转移到$j$（第$i-1$位的车刚好跑到了着相差的一位）。

然后发现，对于每个$f[i][j]$，它的祖先的$k$都是完全一致的；因此可以矩乘优化，建立转移矩阵$T[k][j]$，如果状态$k$可以转移到$j$，则$T[k][j]=1$，否则为$0$。

则复杂度为$S^3\log n$，其中$S$是合法状态数量（即符合$j$的第$p$位是$1$，且$j$共有$k$位是$1$的$j$的数量）。我们有$S=C_{p-1}^{k-1}$，当$p=10,k=5\ \operatorname{or}\ 6$时取得最大值，有$S=C_9^4\ \operatorname{or}\ C_9^5=126$。

代码：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int mod=30031;
int n,m,p,len,sta[150];
struct mat{
	int g[150][150];
	mat(){memset(g,0,sizeof(g));}
	friend mat operator *(const mat &x,const mat &y){
		mat z;
		for(int i=0;i<len;i++)for(int j=0;j<len;j++)for(int k=0;k<len;k++)(z.g[i][j]+=x.g[i][k]*y.g[k][j])%=mod;
		return z;
	}
}X,I;
bool che(int x,int y){
	x<<=1,x-=(1<<p);
	return __builtin_popcount(x^y)<=1;
}
void ksm(int y){
	for(;y;X=X*X,y>>=1)if(y&1)I=I*X;
}
int main(){
	scanf("%d%d%d",&n,&m,&p);
	for(int i=(1<<(p-1));i<(1<<p);i++)if(__builtin_popcount(i)==m)sta[len++]=i;
	for(int i=0;i<len;i++)I.g[i][i]=1;
	for(int i=0;i<len;i++)for(int j=0;j<len;j++)X.g[i][j]=che(sta[i],sta[j]);
	ksm(n-m);
	printf("%d\n",I.g[len-1][len-1]);
	return 0;
}