[SDOI2016]征途

XIII.[SDOI2016]征途

这题已经在我的任务列表里吃了大半年的灰了……（去年7月加进来的，到现在已经8个月了）

开始推式子。

我们设第$i$天的路程是$l_i$，

则我们的目的是最小化

$s^2=\sum\limits_{i=1}^m\dfrac{(\overline{l}-l_i)^2}{m}$

代入平均值的定义

$s^2=\dfrac{\sum\limits_{i=1}^m\bigg(\tfrac{\sum\limits_{j=1}^ml_j}{m}-l_i\bigg)^2}{m}$

暴力展开平方项

$s^2=\dfrac{\sum\limits_{i=1}^m\bigg(\dfrac{\sum\limits_{j=1}^ml_j}{m}\bigg)^2-2*l_i*\dfrac{\sum\limits_{j=1}^ml_j}{m}+l_i^2}{m}$

分离$\Sigma$

$s^2=\dfrac{m\bigg(\dfrac{\sum\limits_{j=1}^ml_j}{m}\bigg)^2-2*\sum\limits_{i=1}^ml_i*\dfrac{\sum\limits_{j=1}^ml_j}{m}+\sum\limits_{i=1}^ml_i^2}{m}$

稍作整合

$s^2=\dfrac{\dfrac{(\sum\limits_{j=1}^ml_j)^2}{m}-2*\dfrac{(\sum\limits_{j=1}^ml_j)^2}{m}+\sum\limits_{i=1}^ml_i^2}{m}$

合并

$s^2=\dfrac{-\dfrac{(\sum\limits_{j=1}^ml_j)^2}{m}+\sum\limits_{i=1}^ml_i^2}{m}$

乘以$m^2$

$s^2m^2=-(\sum\limits_{j=1}^ml_j)^2+m\sum\limits_{i=1}^ml_i^2$

右边的等式中，左边是定值（等于总路程的平方）；右边则要我们最小化$\sum\limits_{i=1}^ml_i^2$。

设$f[i][j]$表示：前$i$天内分成了$j$段的最小平方和。再设$s_i$表示路程的前缀和。

则有$f[i][j]=\min\limits_{k=0}^{i-1}\{f[k][j-1]+(s_i-s_k)^2\}$

可以$n^2m$的进行暴力DP，能拿到$60\%$。

代码：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n,m,s[3010],f[3010][3010];
int main(){
	scanf("%d%d",&n,&m),memset(f,0x3f3f3f3f,sizeof(f));
	for(int i=1;i<=n;i++)scanf("%d",&s[i]),s[i]+=s[i-1];
	f[0][0]=0;
	for(int i=1;i<=n;i++)for(int j=1;j<=min(i,m);j++)for(int k=0;k<i;k++)f[i][j]=min(f[i][j],f[k][j-1]+(s[i]-s[k])*(s[i]-s[k]));
	printf("%d\n",m*f[n][m]-s[n]*s[n]);
	return 0;
} 

我们尝试按段数DP，而不是按天数DP。即，在$f[i][j]$中，优先枚举$j$。

在枚举$j$后，我们就可以暂时忽略$j$这一维了。

我们有$f[i]=\min\limits_{j=0}^{i-1}\{F[j]+(s_i-s_j)^2\}$。其中，这个$F[j]$是上一轮DP时的$f$值，即原本的$f[i][j-1]$（注意这个$j$和上面递推式里面的枚举的$j$不是同一个$j$）

假设$j<k<i$，且$j$比$k$优，

则有

$F[j]+(s_i-s_j)^2<F[k]+(s_i-s_k)^2$

暴力展开

$F[j]+s_i^2-s_is_j+s_j^2<F[k]+s_i^2-s_is_k+s_k^2$

合并同类项

$F[j]-s_is_j+s_j^2<F[k]-s_is_k+s_k^2$

移项

$F[j]-F[k]+s_j^2-s_k^2<s_is_j-s_is_k$

提一下

$F[j]-F[k]+s_j^2-s_k^2<s_i(s_j-s_k)$

除过去（注意$s_j-s_k$是负的！！！）

$\dfrac{F[j]-F[k]+s_j^2-s_k^2}{s_j-s_k}>s_i$

左边的东西与$i$无关；右边的东西单调增；

那不就可以了吗！！！

维护下凸壳，直接斜率优化硬套，完事。

代码：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n,m,s[3010],f[3010][3010],q[3010],l,r;
int main(){
	scanf("%d%d",&n,&m),memset(f,0x3f3f3f3f,sizeof(f));
	for(int i=1;i<=n;i++)scanf("%d",&s[i]),s[i]+=s[i-1];
	f[0][0]=0;
	for(int j=1;j<=m;j++){
		l=r=0;
		for(int i=1;i<=n;i++){
			while(r-l&&f[q[l]][j-1]-f[q[l+1]][j-1]+s[q[l]]*s[q[l]]-s[q[l+1]]*s[q[l+1]]>=2*s[i]*(s[q[l]]-s[q[l+1]]))l++;
			f[i][j]=f[q[l]][j-1]+(s[i]-s[q[l]])*(s[i]-s[q[l]]);
			while(r-l&&(f[q[r-1]][j-1]-f[q[r]][j-1]+s[q[r-1]]*s[q[r-1]]-s[q[r]]*s[q[r]])*(s[q[r]]-s[i])>=(f[q[r]][j-1]-f[i][j-1]+s[q[r]]*s[q[r]]-s[i]*s[i])*(s[q[r-1]]-s[q[r]]))r--;
			q[++r]=i; 
		}
	}
	printf("%d\n",m*f[n][m]-s[n]*s[n]);
	return 0;
}