任务安排

XII.任务安排

斜率优化真$\color{black}\colorbox{black}{XX}$有意思！！

设$t[i]$表示原题中的$t_i$的前缀和，$c[i]$表示原题中$f_i$的前缀和，$m$表示启动时间$s$。

思路1：$n^3$DP：

设$f[i][j]$表示：前$i$个位置，分成$j$组，的最快时间。

则有$f[i][j]=\min\limits_{k=0}^{i-1}\{f[k][j-1]+(t[i]+m*j)*(c[i]-c[k])\}$。

思路2：$n^2$DP：

观察到我们每在第$i$个点前多分出一组，则在$i$后面所有东西的时间都会向后拖$m$时刻，共计造成$m*(c[n]-c[i])$点费用，

因此我们可以设$f[i]$表示前$i$个位置的最短时间，

则有$f[i]=\min\limits_{j=0}^{i-1}\{f[j]+m*(c[n]-c[j])+t[i]*(c[i]-c[j])\}$。

代码：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n,m,f[10010],t[10010],c[10010];
int main(){
	scanf("%d%d",&n,&m),memset(f,0x3f3f3f3f,sizeof(f)),f[0]=0;
	for(int i=1;i<=n;i++)scanf("%d%d",&t[i],&c[i]),t[i]+=t[i-1],c[i]+=c[i-1];
	for(int i=1;i<=n;i++)for(int j=0;j<i;j++)f[i]=min(f[i],f[j]+m*(c[n]-c[j])+t[i]*(c[i]-c[j]));
	printf("%d\n",f[n]);
	return 0;
}

思路3：考虑斜率优化。

设$j<k<i$，且$j$比$k$更优。

则有

$f[j]+m*(c[n]-c[j])+t[i]*(c[i]-c[j])<f[k]+m*(c[n]-c[k])+t[i]*(c[i]-c[k])$

拆括号

$f[j]+m*c[n]-m*c[j]+t[i]*c[i]-t[i]*c[j]<f[k]+m*c[n]-m*c[k]+t[i]*c[i]-t[i]*c[k]$

消元

$f[j]-m*c[j]-t[i]*c[j]<f[k]-m*c[k]-t[i]*c[k]$

移项并合并

$f[j]-f[k]-(m+t[i])*(c[j]-c[k])<0$

再移

$f[j]-f[k]<(m+t[i])*(c[j]-c[k])$

注意因为$j<k$，且$c$是前缀和，则$c[j]<c[k]$。不等式两边除以负数，应该换方向。

最终得到

$\dfrac{f[j]-f[k]}{c[j]-c[k]}>m+t[i]$

左边的东西仅与$j$和$k$有关；右边的东西是单调的（$t$也是前缀和）；

因此就可以斜率优化辣。

代码：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n,m,t[10100],c[10100],f[10100],q[10100],l,r;
int main(){
	scanf("%d%d",&n,&m);
	for(int i=1;i<=n;i++)scanf("%d%d",&t[i],&c[i]),t[i]+=t[i-1],c[i]+=c[i-1];
	for(int i=1;i<=n;i++){
		while(r-l&&(f[q[l]]-f[q[l+1]])>=(c[q[l]]-c[q[l+1]])*(m+t[i]))l++;
		f[i]=f[q[l]]+m*(c[n]-c[q[l]])+t[i]*(c[i]-c[q[l]]);
		while(r-l&&(f[q[r-1]]-f[q[r]])*(c[q[r]]-c[i])>=(f[q[r]]-f[i])*(c[q[r-1]]-c[q[r]]))r--;
		q[++r]=i;
	}
	printf("%d\n",f[n]);
	return 0;
}