[BJWC2011]禁忌

IX.[BJWC2011]禁忌

老套路，建出AC自动机，并求出每个节点的\(ok\)。

之后呢？

考虑dp。

令\(f_{i,j}\)表示在一个长度为\(i\)的串，当前在点\(j\)的可能性。

则有：

对于任意\(k\in [0,alphabet)\)，

如果\(t[t[j].ch[k]].ok\)为\(true\)，那么\(f_{i+1,k}+=f_{i,j}/alphabet\)；

否则，在统计答案的变量中加上\(f_{i,j}/alphabet\)，同时\(f_{i+1,1}+=f_{i,j}/alphabet\)（匹配成功，默认跳到根节点）。

但是！！！这里的\(len\)巨大，我们不能这么跑，否则复杂度是\(O(size*len*alphabet)\)的。

考虑一下，这每次的转移的步骤，都与\(i\)和具体的\(f_{i,j}\)的值无关。因此可以考虑矩阵快速幂。

构建转移矩阵\(base\)。

for(int i=1;i<=cnt;i++){
	for(int j=0;j<m;j++){
		if(t[t[i].ch[j]].ok)base.num[i][t[i].ch[j]]+=1;
		else base.num[i][1]+=1,base.num[i][cnt+1]+=1;
	}
	for(int i=1;i<=base.N;i++)for(int j=1;j<=base.N;j++)base.num[i][j]/=m;
	base.num[base.N][base.N]=1.0;
}

（\(m\)即为\(alphabet\)。）

该矩阵的最后一列为统计答案列。但是，该矩阵的右下角处必需强制赋成\(1\)。为什么呢？

看到矩阵乘法\(x*y\)的过程中什么时候要用到右下角：

or(int i=1;i<=x.N;i++)for(int j=1;j<=y.N;j++)for(int k=1;k<=y.N;k++)z.num[i][j]+=x.num[i][k]*y.num[k][j];

则在做最后一行和最后一列的乘法时，它调用了右下角。

最后一行全为\(0\)（因为原本应该是一个\(size*size\)的方阵，但是我们强制补了最后一列），可以忽略。

但是，计算最后一列时，这一点是必须的。

然后我们就可以暴力矩阵快速幂了。

最后答案为矩阵的右上角。

因为最右一列是答案列，而最上一行为根节点行。

代码：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n,len,m,S,cnt=1;
struct AC_Automaton{
	int ch[26],fail;
	bool ok;
}t[80];
char s[20];
void ins(){
	int x=1;
	for(int i=0;i<S;i++){
		if(!t[x].ch[s[i]-'a'])t[x].ch[s[i]-'a']=++cnt,t[cnt].ok=true;
		x=t[x].ch[s[i]-'a'];
	}
	t[x].ok=false;
}
queue<int>q;
void build(){
	for(int i=0;i<m;i++){
		if(t[1].ch[i])t[t[1].ch[i]].fail=1,q.push(t[1].ch[i]);
		else t[1].ch[i]=1;
	}
	while(!q.empty()){
		int x=q.front();q.pop();
		for(int i=0;i<m;i++){
			if(t[x].ch[i])t[t[x].ch[i]].fail=t[t[x].fail].ch[i],q.push(t[x].ch[i]);
			else t[x].ch[i]=t[t[x].fail].ch[i];
		}
		t[x].ok&=t[t[x].fail].ok;
	}
}
struct Matrix{
	long double num[80][80];
	int N;
	Matrix(){
		N=0;
		memset(num,0,sizeof(num));
	}
	friend Matrix operator *(const Matrix &x,const Matrix &y){
		Matrix z;
		z.N=x.N;
		for(int i=1;i<=x.N;i++)for(int j=1;j<=y.N;j++)for(int k=1;k<=y.N;k++)z.num[i][j]+=x.num[i][k]*y.num[k][j];
		return z;
	}
}base,I;
Matrix pov(Matrix x,int y){
	if(!y)return I;
	Matrix tmp=pov(x,y>>1);
	return tmp*tmp*(y&1?x:I);
}
int main(){
	scanf("%d%d%d",&n,&len,&m),t[1].ok=true;
	for(int i=1;i<=n;i++)scanf("%s",s),S=strlen(s),ins();
	build();
	for(int i=1;i<=cnt;i++){
		for(int j=0;j<m;j++){
			if(t[t[i].ch[j]].ok)base.num[i][t[i].ch[j]]+=1;
			else base.num[i][1]+=1,base.num[i][cnt+1]+=1;
		}
	}
	base.N=I.N=cnt+1;
	for(int i=1;i<=base.N;i++)for(int j=1;j<=base.N;j++)base.num[i][j]/=m;
	base.num[base.N][base.N]=1.0;
	for(int i=1;i<=I.N;i++)I.num[i][i]=1;
	base=pov(base,len);
	printf("%.8Lf\n",base.num[1][base.N]);
	return 0;
}