[SDOI2014]数数

[SDOI2014]数数

这题是AC自动机与各种dp相结合的范例。

首先，按照套路，我们建出自动AC机。然后，因为是$\le N$的所有数的总数，很容易想到数位dp（实际上它如果是在$L,R$之间所有数的总数则更明显）。

令$f_{x,len,lim}$表示：

在自动机上$x$号节点，

匹配到了母串的$len$位置，

当前贴上限的状态$lim$（$true$为贴着）

我们很轻易就能得出转移的记忆化：

int dfs(int x,int len,bool lim){
	if(!t[x].ok)return 0;
	if(len==S)return 1;
	if(f[x][len][lim]!=-1)return f[x][len][lim];
	int res=0;
	for(int i=0;i<=(lim?s[len]-'0':9);i++)res=(res+dfs(t[x].ch[i],len+1,lim&&(i==s[len]-'0')))%mod;
	return f[x][len][lim]=res;
}

但是，兴冲冲地交上去后，你就会发现:$\color{Green}_{80}$

$QaQ?$

考虑一组数据：

10
1
01

如果你的程序跑出来是$9$，恭喜你，上钩了！

$01$并不是$1$的字串。

因此我们还要再定义一维前导零状态$lead$。

状态：$f_{x,len,lim,lead}$：

在自动机上$x$号节点，

匹配到了母串的$len$位置，

当前贴上限的状态$lim$（$true$为贴着）

前导零状态（$true$为有）

则新记忆化状态：

int dfs(int x,int len,bool lim,bool lead){
	if(!t[x].ok)return 0;
	if(len==S)return 1;
	if(f[x][len][lim][lead]!=-1)return f[x][len][lim][lead];
	int res=0;
	for(int i=0;i<=(lim?s[len]-'0':9);i++){
		if(lead)res=(res+dfs(t[1].ch[i],len+1,lim&&(i==s[len]-'0'),lead&!i))%mod;
		else res=(res+dfs(t[x].ch[i],len+1,lim&&(i==s[len]-'0'),0))%mod;
	}
	return f[x][len][lim][lead]=res;
}

可以看到，如果有前导零，则直接暴力从根节点开始转移。

总代码：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int mod=1e9+7;
int n,m,S,cnt=1,f[1510][1210][2][2];
char s[1210],ss[1510];
struct AC_Automaton{
	int ch[10],fail;
	bool ok;
}t[1510];
void ins(){
	int x=1;
	for(int i=0;i<S;i++){
		if(!t[x].ch[ss[i]-'0'])t[x].ch[ss[i]-'0']=++cnt,t[cnt].ok=true;
		x=t[x].ch[ss[i]-'0'];
	}
	t[x].ok=false;
}
queue<int>q;
void build(){
	for(int i=0;i<10;i++){
		if(t[1].ch[i])t[t[1].ch[i]].fail=1,q.push(t[1].ch[i]);
		else t[1].ch[i]=1;
	}
	while(!q.empty()){
		int x=q.front();q.pop();
		for(int i=0;i<10;i++){
			if(t[x].ch[i])t[t[x].ch[i]].fail=t[t[x].fail].ch[i],q.push(t[x].ch[i]);
			else t[x].ch[i]=t[t[x].fail].ch[i];
		}
		t[x].ok&=t[t[x].fail].ok;
	}
}
int dfs(int x,int len,bool lim,bool lead){
	if(!t[x].ok)return 0;
	if(len==S)return 1;
	if(f[x][len][lim][lead]!=-1)return f[x][len][lim][lead];
	int res=0;
	for(int i=0;i<=(lim?s[len]-'0':9);i++){
		if(lead)res=(res+dfs(t[1].ch[i],len+1,lim&&(i==s[len]-'0'),lead&!i))%mod;
		else res=(res+dfs(t[x].ch[i],len+1,lim&&(i==s[len]-'0'),0))%mod;
	}
	return f[x][len][lim][lead]=res;
}
int main(){
	scanf("%s",s),n=strlen(s),t[1].ok=true,memset(f,-1,sizeof(f));
	scanf("%d",&m);
	for(int i=0;i<m;i++)scanf("%s",ss),S=strlen(ss),ins();
	build();
	S=n;
	printf("%d\n",(dfs(1,0,1,1)-1+mod)%mod);
	return 0;
}