[SDOI2014]数数
这题是AC自动机与各种dp相结合的范例。
首先，按照套路，我们建出自动AC机。然后，因为是\(\le N\)的所有数的总数，很容易想到数位dp（实际上它如果是在\(L,R\)之间所有数的总数则更明显）。
令\(f_{x,len,lim}\)表示：
在自动机上\(x\)号节点，
匹配到了母串的\(len\)位置，
当前贴上限的状态\(lim\)（\(true\)为贴着）
我们很轻易就能得出转移的记忆化：
int dfs(int x,int len,bool lim){
if(!t[x].ok)return 0;
if(len==S)return 1;
if(f[x][len][lim]!=-1)return f[x][len][lim];
int res=0;
for(int i=0;i<=(lim?s[len]-'0':9);i++)res=(res+dfs(t[x].ch[i],len+1,lim&&(i==s[len]-'0')))%mod;
return f[x][len][lim]=res;
}
但是，兴冲冲地交上去后，你就会发现:\(\color{Green}_{80}\)
\(QaQ?\)
考虑一组数据：
10
1
01
如果你的程序跑出来是\(9\)，恭喜你，上钩了！
\(01\)并不是\(1\)的字串。
因此我们还要再定义一维前导零状态\(lead\)。
状态：\(f_{x,len,lim,lead}\)：
在自动机上\(x\)号节点，
匹配到了母串的\(len\)位置，
当前贴上限的状态\(lim\)（\(true\)为贴着）
前导零状态（\(true\)为有）
则新记忆化状态：
int dfs(int x,int len,bool lim,bool lead){
if(!t[x].ok)return 0;
if(len==S)return 1;
if(f[x][len][lim][lead]!=-1)return f[x][len][lim][lead];
int res=0;
for(int i=0;i<=(lim?s[len]-'0':9);i++){
if(lead)res=(res+dfs(t[1].ch[i],len+1,lim&&(i==s[len]-'0'),lead&!i))%mod;
else res=(res+dfs(t[x].ch[i],len+1,lim&&(i==s[len]-'0'),0))%mod;
}
return f[x][len][lim][lead]=res;
}
可以看到，如果有前导零，则直接暴力从根节点开始转移。
总代码：
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int mod=1e9+7;
int n,m,S,cnt=1,f[1510][1210][2][2];
char s[1210],ss[1510];
struct AC_Automaton{
int ch[10],fail;
bool ok;
}t[1510];
void ins(){
int x=1;
for(int i=0;i<S;i++){
if(!t[x].ch[ss[i]-'0'])t[x].ch[ss[i]-'0']=++cnt,t[cnt].ok=true;
x=t[x].ch[ss[i]-'0'];
}
t[x].ok=false;
}
queue<int>q;
void build(){
for(int i=0;i<10;i++){
if(t[1].ch[i])t[t[1].ch[i]].fail=1,q.push(t[1].ch[i]);
else t[1].ch[i]=1;
}
while(!q.empty()){
int x=q.front();q.pop();
for(int i=0;i<10;i++){
if(t[x].ch[i])t[t[x].ch[i]].fail=t[t[x].fail].ch[i],q.push(t[x].ch[i]);
else t[x].ch[i]=t[t[x].fail].ch[i];
}
t[x].ok&=t[t[x].fail].ok;
}
}
int dfs(int x,int len,bool lim,bool lead){
if(!t[x].ok)return 0;
if(len==S)return 1;
if(f[x][len][lim][lead]!=-1)return f[x][len][lim][lead];
int res=0;
for(int i=0;i<=(lim?s[len]-'0':9);i++){
if(lead)res=(res+dfs(t[1].ch[i],len+1,lim&&(i==s[len]-'0'),lead&!i))%mod;
else res=(res+dfs(t[x].ch[i],len+1,lim&&(i==s[len]-'0'),0))%mod;
}
return f[x][len][lim][lead]=res;
}
int main(){
scanf("%s",s),n=strlen(s),t[1].ok=true,memset(f,-1,sizeof(f));
scanf("%d",&m);
for(int i=0;i<m;i++)scanf("%s",ss),S=strlen(ss),ins();
build();
S=n;
printf("%d\n",(dfs(1,0,1,1)-1+mod)%mod);
return 0;
}
