马拉车（Manacher）感性瞎扯

Manacher=马拉车

大家好，我们今天来扯Manacher算法了。

I.马拉车可以干什么？

一句话：对于一个字符串$s$，在$O(|S|)$时间内，求出它的最长回文子串。

II.预处理

对于一个字符串，它的回文串可以有两种类型：

A.奇回文串

例:AACCBCCAA

特征:有单一回文中心（例中的B）。

B.偶回文串

例：AABBCCBBAA

特征：对称中心是两个（例中的BB）。

两者性质并不相同，必须分类讨论。

但是，我们有一种方法，可以将两者统一成一种类型：

在原串每两个字符之间，以及串头串尾，都加上一个无关字符（例如 # 等）。

例：

AABBCCDD$\rightarrow$ #A#A#B#B#C#C#D#D#。

ABCBA$\rightarrow$ #A#B#C#B#A#。

这样的话，原串中的奇回文串与偶回文串，都被统一成了奇回文串。（奇回文串变成以原串字符为对称中心的回文串，偶回文串变成以 # 为对称中心的回文串）。

代码（在读入时直接进行操作）：

inline void getln(){
	s[0]='$',S=1;
	char c=getchar();
	while(c>'z'||c<'a')c=getchar();
	while(c>='a'&&c<='z')s[S++]=c,s[S++]='$',c=getchar();
	s[S]='\0';
}

III.主算法

（默认字符串从$0$开始）

（暂时忽略添加进来的 # 字符，因为忽略也无影响）

先考虑暴力思路：枚举对称中心，然后枚举对称半径。总复杂度$O(n^2)$。

（当然，可以哈希+二分达到$O(nlog_2n)$，但是这个思路对我们没有帮助）

同kmp算法一样，我们可以思考一些操作来避免重复枚举。

这时候我们就可以设两个变量：

$Rpos$：在沿着$s$顺序匹配时，当前所有出现过的回文串中，它的右边界达到的最右位置。

例:ABABAAC，在位置$3$时，$Rpos=4$。在位置$2$和$3$的回文串都曾达到这里。

$Centre$：对于当前的$Rpos$，它所对应的对称中心。如果有多个，取最左端的一个。

例:ABABAAC，在位置$3$时，$Centre=2$。在位置$2$和$3$的回文串都曾达到$Rpos$，但是$2$是最左端的一个。

我们再设一个数组$rad$，表示位置$i$时的回文半径。

字母	A	B	A	B	A	A	C
$rad_i$	1	2	3	2	1	1	1

（自动忽略了偶回文串）。

接下来我们就开始操作了。

初始令$Rpos=Centre=-1$。

对于当前位置$i$：

1. $i \geq Rpos$

暴力延伸，这里是未涉及到的新地方。

2. $i < Rpos$

这时，我们令$ref$为$i$关于$Centre$的对称点（即$Centre*2-i$）。

同时令$Lpos$为$Rpos$关于$Centre$的对称点。

再令$lp$为以$ref$为对称中心的回文串的左边界。

2.1. $Lpos<lp$

因为是回文串，所以有$s_{Lpos}...s_{Centre}=s_{Rpos}...s_{Centre}$

则关于$ref$对称的回文串，也是关于$i$对称的回文串（想一想，左右对称）。

如图：

2.2. $Lpos\geq lp$

对称的只有从$i$到$Rpos$的一段，剩下的部分两边是不同的，仍需暴力扩展。

如图：

IV.实现

inline void Manacher(){
	Centre=Rpos=-1;
	for(register int i=0;i<S;i++){
		rad[i]=(i<Rpos)?min(Rpos-i,rad[Centre*2-i]):1;
		while(i+rad[i]<S&&i-rad[i]>=0)if(s[i+rad[i]]==s[i-rad[i]])rad[i]++;else break;
		if(i+rad[i]>Rpos)Rpos=i+rad[i],Centre=i;
		Ans=max(Ans,rad[i]);
	}
}

实现与上面的描述很不一致，我们逐行分析。

rad[i]=(i<Rpos)?min(Rpos-i,rad[Centre*2-i]):1;

用了三目运算符。

它的意思是：

如果$i<Rpos$，那么$rad_i=min(Rpos-i,rad_{Centre*2-i}$
回忆一下，$ref$就是$Centre*2-i$。

$Rpos-i$，就是上文$2.2$中的可用部分。

$rad_{Centre*2-i}$，就是上文$2.1$中的可用部分。

两者取$min$，就很显然了。

而当$i \geq Rpos$时，$rad_i=1$（默认单个字符本身就为回文串）。

然后就是暴力跳了。

while(i+rad[i]<S&&i-rad[i]>=0)if(s[i+rad[i]]==s[i-rad[i]])rad[i]++;else break;

分析一下，在情形$1$和$2.2$，都需要暴力跳。在情形$2.1$，暴力跳一次就会退出。

然后按定义更新$Rpos$和$Centre$，同时取答案。

if(i+rad[i]>Rpos)Rpos=i+rad[i],Centre=i;
Ans=max(Ans,rad[i]);

最终答案为$Ans-1$，因为在长度为$n$的原串中加入了$n+1$个 # 。但是$rad$又是半径，也要再加入$rad-1$个字符才能构成回文串。

总复杂度$O(n)$。分析复杂度是不可能的，这辈子都是不可能的。

V.大礼包

本文所有代码使用的分隔符都是dollar符号，但是由于$\LaTeX$的缘故，在讲解时使用 # 符号。另，还是因为$\LaTeX$，文中的dollar符号全部莫名其妙多了一个空格，请自行删除。

（代码：【模板】manacher算法

#pragma GCC optimise(3)
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
char s[22000100];
int S,rad[22001000],Centre,Rpos,Ans;
inline void getln(){
	s[0]='$',S=1;
	char c=getchar();
	while(c>'z'||c<'a')c=getchar();
	while(c>='a'&&c<='z')s[S++]=c,s[S++]='$',c=getchar();
	s[S]='\0';
}
inline void Manacher(){
	Centre=Rpos=-1;
	for(register int i=0;i<S;i++){
		rad[i]=(i<Rpos)?min(Rpos-i,rad[Centre*2-i]):1;
		while(i+rad[i]<S&&i-rad[i]>=0)if(s[i+rad[i]]==s[i-rad[i]])rad[i]++;else break;
		if(i+rad[i]>Rpos)Rpos=i+rad[i],Centre=i;
		Ans=max(Ans,rad[i]);
	}
}
int main(){
	getln();
	Manacher();
	printf("%d\n",Ans-1);
	return 0;
}

（忽略上面的O3）