[HEOI2016/TJOI2016]求和

XV.[HEOI2016/TJOI2016]求和

题意：求一个东西

$\LARGE\sum\limits_{i=0}^n\sum\limits_{j=0}^iS_i^j*2^j*j!$

其中$S_i^j$为第二类斯特林数，递推公式为$S_n^m=S_{n-1}^{m-1}+m*S_{n-1}^m$。

我们终于可以像莫反一样，开始喜闻乐见地推式子辣！

首先，就让我这个半小时前还在看斯特林数的blog的蒟蒻暂且口胡一下第二类斯特林数的意义吧！

$S_n^m$，意为将$n$个球放入$m$个集合（无序！不能隔板法！），且每个集合都非空的方案数。

我们有递推式$S_n^m=S_{n-1}^{m-1}+m*S_{n-1}^m$，可以这样想：如果第$n$个球独立放入一个集合，方案数为$S_{n-1}^{m-1}$；否则，可以把它扔进任何一个集合中，共有$m*S_{n-1}^m$种方案。

当然也有通项公式：

$\LARGE S_n^m=\dfrac{\sum\limits_{i=0}^m(-1)^iC_m^i(m-i)^n}{m!}$

再来口胡一下证明：

我们这个$\sum\limits_{i=0}^m$相当于枚举这$m$个集合中空集合的数量有$i$个。我们从共$m$个集合中选择$i$个空置，共有$C_m^i$种方案；$(-1)^i$是容斥原理的结果，我们反正这么瞎加加减减就能把所有有空集合的方案全都容斥掉。$(m-i)^n$因为每个元素可以扔进$m-i$个非空集合中的任何一个，共扔$n$次。显然，这么扔肯定是有序的，不满足集合无序的要求，故分母上有个$m!$。

回忆一下，$C_m^i=\dfrac{m!}{i!(m-i)!}$，我们把它带进去，得到：

$\LARGE S_n^m=\sum\limits_{i=0}^m\dfrac{(-1)^i(m-i)^n}{i!(m-i)!}$

欧拉！我们就可以把$S_i^j$的定义带回原式中了。

原式：

$\LARGE\sum\limits_{i=0}^n\sum\limits_{j=0}^iS_i^j*2^j*j!$

首先，当$(i<j)$时，我们有$S_i^j=0$。很显然，因为此时必有空集合存在。因此，我们可以将$\sum\limits_{j=1}^i$改为$\sum\limits_{j=1}^n$。得到：

$\LARGE\sum\limits_{i=0}^n\sum\limits_{j=0}^nS_i^j*2^j*j!$

改变枚举顺序，先枚举$j$，并把只与$j$有关的东西移出去。

$\LARGE\sum\limits_{j=0}^n2^j*j!\sum\limits_{i=0}^nS_i^j$

$S_i^j$通项公式代进去：

$\LARGE\sum\limits_{j=0}^n2^j*j!\sum\limits_{i=0}^n\sum\limits_{k=0}^j\dfrac{(-1)^k(j-k)^i}{k!(j-k)!}$

发现这个$i$只与$(j-k)^i$有关，不如就在那边求和，得到

$\LARGE\sum\limits_{j=0}^n2^j*j!\sum\limits_{k=0}^j\dfrac{(-1)^k\Bigg(\sum\limits_{i=0}^n(j-k)^i\Bigg)}{k!(j-k)!}$

把后面那一大坨拆成与$k$有关的和与$j-k$有关的：

$\LARGE\sum\limits_{j=0}^n2^j*j!\sum\limits_{k=0}^j\Bigg(\dfrac{(-1)^k}{k!}\Bigg)\Bigg(\dfrac{\sum\limits_{i=0}^n(j-k)^i}{(j-k)!}\Bigg)$

发现后面是一个卷积的形式。令$f(i)=\dfrac{(-1)^i}{i!}$，$g(i)=\dfrac{\sum\limits_{k=0}^ni^k}{i!}$

利用等比数列求和的公式，得到$g(i)=\dfrac{i^{n+1}-1}{(i-1)i!}$。

注意！在这么转换之后，我们要注意到特例：$i=0$和$i=1$。在新式子中，会得到奇奇怪怪的结果。直接代入原式子，得到$g(0)=1$和$g(1)=n+1$，记得特判一下！

设$h=f*g$，则我们得到：

$\LARGE\sum\limits_{j=0}^n2^j*j!*h(j)$

问题来了，这个$2^j*j!$是干什么的？

误导你的！自始至终它都一直在那里呆着。

出题人竟如此阴险残暴

代码：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int mod=998244353;
const int G=3;
int n,f[500100],g[500100],lim=1,lg,invlim,rev[500100],ans;
int ksm(int x,int y){
	int res=1;
	for(;y;x=(1ll*x*x)%mod,y>>=1)if(y&1)res=(1ll*res*x)%mod;
	return res;
}
void NTT(int *a,int tp){
	for(int i=0;i<lim;i++)if(i<rev[i])swap(a[i],a[rev[i]]);
	for(int md=1;md<lim;md<<=1){
		int rt=ksm(G,(mod-1)/(md<<1));
		if(tp==-1)rt=ksm(rt,mod-2);
		for(int stp=md<<1,pos=0;pos<lim;pos+=stp){
			int w=1;
			for(int i=0;i<md;i++,w=(1ll*w*rt)%mod){
				int x=a[pos+i],y=(1ll*w*a[pos+md+i])%mod;
				a[pos+i]=(x+y)%mod;
				a[pos+md+i]=(x-y+mod)%mod;
			}
		}
	}
	if(tp==-1)for(int i=0;i<lim;i++)a[i]=(1ll*a[i]*invlim)%mod;
}
int main(){
	scanf("%d",&n);
	for(int i=0,fac=1,invfac;i<=n;i++,fac=(1ll*fac*i)%mod){
		invfac=ksm(fac,mod-2);
		f[i]=(i&1?(mod-invfac)%mod:invfac);
		if(i==0)g[i]=1;
		else if(i==1)g[i]=n+1;
		else g[i]=1ll*(ksm(i,n+1)-1+mod)%mod*ksm(i-1,mod-2)%mod*invfac%mod;
	}
	while(lim<=2*n+1)lim<<=1,lg++;
	invlim=ksm(lim,mod-2);
	for(int i=0;i<lim;i++)rev[i]=(rev[i>>1]>>1)|((i&1)<<(lg-1));
	NTT(f,1),NTT(g,1);
	for(int i=0;i<lim;i++)f[i]=(1ll*f[i]*g[i])%mod;
	NTT(f,-1);
	for(int i=0,fac=1,bin=1;i<=n;i++,fac=(1ll*fac*i)%mod,bin=(bin<<1)%mod)ans=(1ll*fac*bin%mod*f[i]%mod+ans)%mod;
	printf("%lld\n",ans);
	return 0;
}