CF827E Rusty String

XII.CF827E Rusty String

依旧推式子。假设当前我们处理$'V'$字符，那么我们令$f(x)=[s_x='V"\lor s_x='?']$。我们设答案为$p(x)$，那么有$p(x)=\sum\limits_{i=x}^{n-1}f(i)f(i-x)$。

老套路，翻转$f$函数，得到$g$函数，即$g(x)=f(n-i-1)$。我们有$p(x)=\sum\limits_{i=x}^{n-1}f(i)g(n-i+x-1)$。换句话说，有$p(x)=\sum\limits_{i+j=n+x-1}f(i)g(j)$。

我们设$h=f*g$。则有$p(x)=h(n+x-1)$。

$'K'$字符同理。

但是，为了避免$'?'$匹配$'?'$出现两次，我们还要额外再对$'?'$跑一遍，就是令$f(x)=[s_x='?']$，然后$p_x$减去$h(n+x-1)$。

当你费尽心思搞完这一切时，却发现你的程序假掉了。这都得感谢第一组良心样例。

我们看一下：

V??VK
  V??VK

其中第三个字符$'?'$，在上面的串中同$'V'$匹配，在下面的串中同$'K'$匹配。毕竟，这是未确定的字符，而不是通配符。未确定的字符只能是$'V'$或$'K'$，但不能同时既是$'V'$又是$'K'$。

怎么办呢？？？

我们引出一个性质：如果$k$是一个合法的$period$，那么，所有$k$的倍数都必然是合法的$period$。

看一张图：

所有的红线连着的位置全都相等。所有的绿线连着的位置全部相等。换句话说，如果有一个$period$为$k$，那么$\forall i\equiv j$，总有$s_i=s_j$。这样，就必有$k$的倍数也全为循环节。

如果有一个$'?'$被当成了通配符的话，那么首先，必有$k<n/2$，不然无法被匹配两次。这样，就肯定存在$k$的倍数。那么，在倍数中，$k$肯定匹配了不同的东西，不可能每次都匹配一样的东西。那么，这就能判断出来。

证明比较感性，理性的看不懂的证明详见CF tutorial。

代码：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const double pi=acos(-1);
int T,n,lim=1,lg,p[1<<20],rev[1<<20],cnt;
char s[500100];
struct cp{
	double x,y;
	cp(double u=0,double v=0){x=u,y=v;}
	friend cp operator +(const cp &u,const cp &v){return cp(u.x+v.x,u.y+v.y);}
	friend cp operator -(const cp &u,const cp &v){return cp(u.x-v.x,u.y-v.y);}
	friend cp operator *(const cp &u,const cp &v){return cp(u.x*v.x-u.y*v.y,u.x*v.y+u.y*v.x);}
}f[1<<20],g[1<<20];
void FFT(cp *a,int tp){
	for(int i=0;i<lim;i++)if(i<rev[i])swap(a[i],a[rev[i]]);
	for(int md=1;md<lim;md<<=1){
		cp rt=cp(cos(pi/md),tp*sin(pi/md));
		for(int stp=md<<1,pos=0;pos<lim;pos+=stp){
			cp w=cp(1,0);
			for(int i=0;i<md;i++,w=w*rt){
				cp x=a[pos+i],y=w*a[pos+md+i];
				a[pos+i]=x+y;
				a[pos+md+i]=x-y;
			}
		}
	}
}
bool ok[1<<20];
int main(){
	scanf("%d",&T);

	while(T--){
		scanf("%d%s",&n,s),cnt=0;
		lim=1,lg=0;
		while(lim<=2*n)lim<<=1,lg++;
		for(int i=0;i<lim;i++)rev[i]=(rev[i>>1]>>1)|((i&1)<<(lg-1));
		for(int i=0;i<lim;i++)f[i]=g[i]=cp(0,0);
		for(int i=0;i<n;i++)f[i]=g[n-i-1]=cp(s[i]=='V'||s[i]=='?',0);
		FFT(f,1),FFT(g,1);
		for(int i=0;i<lim;i++)f[i]=f[i]*g[i];
		FFT(f,-1);
		for(int i=1;i<=n;i++)p[i]=(int)(f[n+i-1].x/lim+0.5);
		
		for(int i=0;i<lim;i++)f[i]=g[i]=cp(0,0);
		for(int i=0;i<n;i++)f[i]=g[n-i-1]=cp(s[i]=='K'||s[i]=='?',0);
		FFT(f,1),FFT(g,1);
		for(int i=0;i<lim;i++)f[i]=f[i]*g[i];
		FFT(f,-1);
		for(int i=1;i<=n;i++)p[i]+=(int)(f[n+i-1].x/lim+0.5);
		
		for(int i=0;i<lim;i++)f[i]=g[i]=cp(0,0);
		for(int i=0;i<n;i++)f[i]=g[n-i-1]=cp(s[i]=='?',0);
		FFT(f,1),FFT(g,1);
		for(int i=0;i<lim;i++)f[i]=f[i]*g[i];
		FFT(f,-1);
		for(int i=1;i<=n;i++)p[i]-=(int)(f[n+i-1].x/lim+0.5);
		
//		for(int i=1;i<=n;i++)printf("%d ",p[i]);puts("");
		
		for(int i=1;i<=n;i++)ok[i]=(p[i]==n-i);
		for(int i=1;i<=n;i++)for(int j=i;j<=n;j+=i)ok[i]&=ok[j];
		for(int i=1;i<=n;i++)cnt+=ok[i];
		printf("%d\n",cnt);
		for(int i=1;i<=n;i++)if(ok[i])printf("%d ",i);puts("");
	}
	return 0;
}