数论——性质的猜想与证明 - 随笔分类 - Troverld

重返现世

摘要：III.重返现世考虑扩展minmax定理：

Kthmax (S) = \sum_{T \subseteq S} (- 1)^{| T | - K} (\binom{| T | - 1}{K - 1}) min (T)

$\text{Kthmax}(\mathbb S)=\sum\limits_{\mathbb{T\subseteq S}}(-1)^{|\mathbb T|-K}\dbinom{|\mathbb T|-1}{K-1}\min(\mathbb T)$ 阅读全文

posted @ 2021-04-09 14:19 Troverld 阅读(58) 评论(0) 推荐(0) 编辑

[PKUWC2018]随机游走

摘要：II.[PKUWC2018]随机游走无脑上minmax容斥。问题转换为求从起点

S

$S$ 出发，到达集合

S

$\mathbb S$ 中某一点的期望时间。因为有环，考虑直接爆上高斯消元，时间复杂度

O (n^{3} 2^{n})

$O(n^32^n)$ 。看上去不太能过？但是这份代码卡常卡得比较优美，加上又没有出菊花图卡阅读全文

posted @ 2021-04-09 14:17 Troverld 阅读(108) 评论(0) 推荐(0) 编辑

minmax容斥学习笔记

摘要：这里是minmax容斥学习笔记。 minmax容斥是一种神奇的可以在一个集合的

min

$\min$ 和

max

$\max$ 间架起桥梁的工具。它的公式如下： \(\max(\mathbb S)=\sum\limits_{\mathbb{T\subseteq S}}(-1)^{|\mathbb T|+1} 阅读全文

posted @ 2021-04-09 14:14 Troverld 阅读(177) 评论(0) 推荐(0) 编辑

[NOI2020] 超现实树

摘要：XI.[NOI2020] 超现实树 Observation 1.答案为 No 当且仅当有至少一棵深度为无限的树无法被生成。这是显然的。 Observation 2.答案为 No 当且仅当存在至少一棵深度为 \(lim=\max\limits_{i=1}^m\operatorname{dep} T_ 阅读全文

posted @ 2021-04-06 14:53 Troverld 阅读(158) 评论(0) 推荐(0) 编辑

[GYM102798F]Skeleton Dynamization

摘要：VII.[GYM102798F]Skeleton Dynamization 神题。首先，我们考虑若我们确定有一条边

(u, v)

$(u,v)$ ，是连接层

i

$i$ 和层

i + 1

$i+1$ 上对应点的边，有无办法建出整个分层图出来？答案是有的。首先，我们先跑两遍bfs求出所有点到

u

$u$ 和 \(v\ 阅读全文

posted @ 2021-04-06 14:45 Troverld 阅读(90) 评论(0) 推荐(0) 编辑

[GYM102900H]Rice Arrangement

摘要：VI.[GYM102900H]Rice Arrangement 首先，考虑最终匹配上的人-饭对中，有两对是

(a_{i 1}, b_{j 1})

$(a_{i1},b_{j1})$ ，

(a_{i 2}, b_{j 2})

$(a_{i2},b_{j2})$ （此处的

a, b

$a,b$ 都是原本圆桌上坐标）。假如它们呈包含关系，则我们一定可以交换两碗饭使得它们变成相交关系，阅读全文

posted @ 2021-04-06 14:42 Troverld 阅读(73) 评论(0) 推荐(0) 编辑

CF1458D Flip and Reverse

摘要：IV.CF1458D Flip and Reverse 神仙题。首先，很容易想到我们另开一个数组，在0的位置记作

- 1

$-1$ ，在1的位置记作

+ 1

$+1$ ，然后作一遍前缀和。这样，若两个位置前缀和相等，则显然它们间的子串是01数量相等的。然后，对于这种01数列上套前缀和的，一个显然的想法是将其画成折线图的阅读全文

posted @ 2021-04-06 14:37 Troverld 阅读(71) 评论(0) 推荐(0) 编辑

JOIOI 王国 (Kingdom of JOIOI)

摘要：III.JOIOI 王国 (Kingdom of JOIOI) 考虑矩阵中的全局最大值和最小值。明显，如果有比最劣解更好的解法，则它们一定不会被分到同一组内。于是，此最大值一定是某一个省的最大值，而此最小值一定是另一个省的最小值。故我们考虑二分极差的最大值。则我们现在对于每个位置，它要么只能被分阅读全文

posted @ 2021-04-06 14:36 Troverld 阅读(169) 评论(0) 推荐(0) 编辑

CF1423N BubbleSquare Tokens

摘要：I.CF1423N BubbleSquare Tokens 神仙构造题。首先，我们令所有点初始都没有放币，所有边上都放了一个币。则此时每个点的权值即为它的度数。然后，我们考虑从小到大计算每个点的权值。对于每个点

i

$i$ ，我们枚举它所有相邻且编号比它小的点，假如该点上没有币，就把币从连接两点的边上移阅读全文

posted @ 2021-04-06 14:30 Troverld 阅读(64) 评论(0) 推荐(0) 编辑

组合数学学习笔记

摘要：本文绝大部分内容来自《混凝土数学》在被多项式爆踩的时候，我偶然发现了《混凝土数学》这本书，然后兴冲冲入手，一看啥都不会，于是就只能在这里带着推推柿子，尝试理解理解，也方便以后复习。（本文略过了大部分对OI无用的芝士，可以放心食用）（顺带一提这略掉的东西可能还有点多）现在开始！ I.下降幂与上阅读全文

posted @ 2021-04-06 14:29 Troverld 阅读(537) 评论(0) 推荐(0) 编辑

[GYM102900K]Traveling Merchant

摘要：IV.[GYM102900K]Traveling Merchant 首先，观察到路径一定是一个

ρ

$\rho$ 形的东西，其中在

ρ

$\rho$ 的交点之前，一直都是黑白点交替，到了交点处是两个同色点。于是我们就只保留异色边建一张图，则问题就转变为给你多对同色点，询问有无从

1

$1$ 经过其阅读全文

posted @ 2021-04-06 13:45 Troverld 阅读(69) 评论(0) 推荐(0) 编辑

[APIO2018] Duathlon 铁人两项

摘要：II.[APIO2018] Duathlon 铁人两项我们考虑对于这样一个三元组

⟨ s, c, f ⟩

$\left<s,c,f\right>$ ，假如我们固定了

s

$s$ 和

f

$f$ ，

c

$c$ 有多少种可能的取值呢？显然，

c

$c$ 的取值等于

s \to f

$s\rightarrow f$ 的简单路径的并集的大小减

2

$2$ ，因为

s

$s$ 和

f

$f$ 不能作为$c 阅读全文

posted @ 2021-04-06 13:41 Troverld 阅读(76) 评论(0) 推荐(0) 编辑

[HNOI/AHOI2018]毒瘤

摘要：VII.[HNOI/AHOI2018]毒瘤题如其名先说一下我的思路：跑出任一生成树，关于非树边的点集建虚树，然后在虚树上跑状压DP。非树边最多有

11

$11$ 条，则非树边点集最大是

22

$22$ ，则虚树大小最大

43

$43$ ，因此状压DP复杂度是

43 \times 2^{43}

$43\times2^{43}$ ，显然不可阅读全文

posted @ 2021-04-06 13:37 Troverld 阅读(82) 评论(0) 推荐(0) 编辑

LOJ#3077. 「2019 集训队互测 Day 4」绝目编诗

摘要：VI.LOJ#3077. 「2019 集训队互测 Day 4」绝目编诗神题。乍一看好像和虚树半毛钱关系都没有呀？没关系，过亿会就有了。我们不妨先从暴力开始想起。暴力怎么写？暴力怎么写？加边加边加边，搜就完事了。没错，这里的暴力就是爆搜——搜出所有环来，然后判断是否有两个环长度相等即可。但阅读全文

posted @ 2021-04-06 13:36 Troverld 阅读(580) 评论(0) 推荐(2) 编辑

[Ynoi2016] 镜中的昆虫

摘要：IV.IV.[Ynoi2016] 镜中的昆虫没错，这里就是CDQ分治

O (n)

$O(n)$ 的优势所在了——本题似乎卡掉了空间复杂度为

O (n \log^{2} n)

$O(n\log^2n)$ 的树套树。但这不妨碍我继续说：树套树yyds 首先，这里有一个结论：长度为

n

$n$ 的序列，修改

m

$m$ 次，

l a s

$las$ 阅读全文

posted @ 2021-04-06 10:45 Troverld 阅读(94) 评论(0) 推荐(0) 编辑

[SDOI2016]游戏

摘要：III.II.[SDOI2016]游戏明显，一条从

x

$x$ 到

y

$y$ 的路径可以被拆作两条从LCA下来的路径，并且路径上每个点被写上的数是关于其深度的一次函数。于是就树剖套李超树就行了。但是有个问题，李超树不是只支持单点询问吗，怎么这里又支持区间了呢？我们发现，对于一条线段，其与我阅读全文

posted @ 2021-04-06 10:33 Troverld 阅读(63) 评论(0) 推荐(0) 编辑

[NOI2016] 循环之美

摘要：VII.[NOI2016] 循环之美依据小学数论知识，我们要求

\sum_{i = 1}^{n} \sum_{j = 1}^{m} [gcd (i, j) = 1] [gcd (j, k) = 1]

$\sum\limits_{i=1}^n\sum\limits_{j=1}^m[\gcd(i,j)=1][\gcd(j,k)=1]$ 因为后面的

k

$k$ 是个常数，所以我们就想把它搞出来。 \(\begin{aligned}& 阅读全文

posted @ 2021-04-05 21:55 Troverld 阅读(92) 评论(0) 推荐(0) 编辑

LJJ爱数数

摘要：VI.LJJ爱数数题目给出要求这样的东西

\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{1}{c}

$\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}=\dfrac{1}{c}$ 开始胡搞 \(\begin{aligned}\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}&=\dfrac{1}{c}\\\dfrac{a+b}{ab}&=\dfra 阅读全文

posted @ 2021-04-05 21:53 Troverld 阅读(74) 评论(0) 推荐(0) 编辑

DZY Loves Math

摘要：III.DZY Loves Math 题意：求

\sum_{i = 1}^{n} \sum_{j = 1}^{m} f (gcd (i, j))

$\sum\limits_{i=1}^n\sum\limits_{j=1}^mf(\gcd(i,j))$ ，其中

f (x)

$f(x)$ 表示

x

$x$ 的所有质因数中次数最高的一个的次数。近乎套路的一堆操作后，我们得到了 \(\sum\limits_{i=1}^{\ 阅读全文

posted @ 2021-04-05 21:44 Troverld 阅读(41) 评论(0) 推荐(0) 编辑

[51Nod1222]最小公倍数计数

摘要：ix.[51Nod1222]最小公倍数计数求

\sum_{i} \sum_{j} [lcm (i, j) \in [a, b]]

$\sum\limits_{i}\sum\limits_{j}\Big[\operatorname{lcm}(i,j)\in[a,b]\Big]$ 。考虑差分，问题转换为 \(\sum\limits_{i}\sum\limits_{j}\Big[\ 阅读全文

posted @ 2021-04-05 21:32 Troverld 阅读(54) 评论(0) 推荐(0) 编辑

Troverld

博客渲染出问题了那是博客的锅，本人什么都不会做的。

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