数论——FFT/NTT/多项式/生成函数 - 随笔分类(第2页) - Troverld

摘要：XIV.CF553E Kyoya and Train 题解阅读全文

posted @ 2021-04-01 20:23 Troverld 阅读(20) 评论(0) 推荐(0) 编辑

摘要：XIII.CF623E Transforming Sequence 这题仔细一想还挺简单的……但是我一直在想有标号的DP，但实际上只需要用无标号DP即可…… 首先，一眼可以看出当

n > k

$n>k$ 时无解，可以直接特判掉。则我们设

f [i] [j]

$f[i][j]$ 表示当前填到第

i

$i$ 个数，且前

i

$i$ 个数$\operator 阅读全文

posted @ 2021-04-01 20:22 Troverld 阅读(31) 评论(0) 推荐(0) 编辑

差分与前缀和

摘要：XII.差分与前缀和打表出奇迹我们先考虑前缀和。对于两个下标

i, j

$i,j$ ，我们考虑

k

$k$ 阶前缀和后，位置

j

$j$ 会被加上多少个

a_{i}

$a_i$ 。显然，加上

a_{i}

$a_i$ 的数量，仅与

j - i

$j-i$ 的值有关。于是我们就打表辣

k

$k$ \

j - i

$j-i$ 0 1 2 3 4 1 1 1 1 1 1 2 阅读全文

posted @ 2021-04-01 20:19 Troverld 阅读(74) 评论(0) 推荐(0) 编辑

CF438E The Child and Binary Tree

摘要：XI.CF438E The Child and Binary Tree 经典老题我们可以设一个

G

$G$ ，其中

G_{x} = [\exists i \ c_{i} = x]

$G_x=[\exists\ i\ \text\ c_i=x]$ ，即是否存在

x

$x$ 这个值。我们再设

F_{x}

$F_x$ 表示权值为

x

$x$ 的二叉树的方案数。很明显有

F_{0} = 1

$F_0=1$ 。则我们枚举树根的阅读全文

posted @ 2021-04-01 20:14 Troverld 阅读(48) 评论(0) 推荐(0) 编辑

[集训队作业2013]城市规划

摘要：XI.[集训队作业2013]城市规划各类计数问题是多项式最常见的场景。这里有一个套路，就是设

f (x)

$f(x)$ 为合法个数，

g (x)

$g(x)$ 为全部个数，然后往往

g

$g$ 可以被

f

$f$ 与

g

$g$ 表示出来，且

g

$g$ 本身有通项公式，然后就可以简单求解了。例如这题。我们设

f (x)

$f(x)$ 为联通图个数，

g (x)

$g(x)$ 为全部无向阅读全文

posted @ 2021-04-01 20:13 Troverld 阅读(38) 评论(0) 推荐(0) 编辑

拉格朗日插值2

摘要：X.拉格朗日插值2 从这题开始，拉格朗日插值就逐渐同多项式同流合污了。我们列出式子：

f (m + i) = \sum_{j = 0}^{n} f (j) \prod_{k \neq j} \frac{m + i - k}{j - k}

$f(m+i)=\sum\limits_{j=0}^nf(j)\prod\limits_{k\neq j}\dfrac{m+i-k}{j-k}$ 借鉴前面的思想，我们将它转成了 \(f(m+i)=\sum\l 阅读全文

posted @ 2021-04-01 20:10 Troverld 阅读(86) 评论(0) 推荐(0) 编辑

CF622F The Sum of the k-th Powers

摘要：IX.CF622F The Sum of the k-th Powers 看上去这题是上一题的弱化版，但其实不是——上题我们要筛出式子，但是这题我们要保证复杂度。首先，我们打算选取

0 \sim k + 1

$0\sim k+1$ ，共

k + 2

$k+2$ 个点进行插值。我们设

f_{x} = \sum_{x} i k

$f_x=\sum\limits_x ik$ 。则由拉格朗日插阅读全文

posted @ 2021-04-01 20:05 Troverld 阅读(74) 评论(0) 推荐(0) 编辑

[TJOI2018]教科书般的亵渎

摘要：VIII.[TJOI2018]教科书般的亵渎这题主要是介绍拉格朗日插值模板那题中，我们提到的“求出

f (x)

$f(x)$ 的多项式表达”的做法。首先，这题显然如果我们令

f (x) = \sum_{i} m + 1

$f(x)=\sum\limits_i{m+1}$ ，且

a_{m + 1} = n + 1

$a_{m+1}=n+1$ 的话，答案就是 \(\sum\limits_{i=1}^{m 阅读全文

posted @ 2021-04-01 20:03 Troverld 阅读(85) 评论(0) 推荐(0) 编辑

【模板】拉格朗日插值

摘要：VII.【模板】拉格朗日插值我们之前一直在研究多项式。但是多项式都是从哪来的呢？所以拉格朗日插值就给了我们一种求多项式的方式。具体而言，运用拉格朗日插值，你可以根据

n + 1

$n+1$ 个点求出一个

n

$n$ 次多项式来经过这所有点。我们来看一下这具体是怎么实现的。我们定义拉格朗日基本多项式为： \(\box 阅读全文

posted @ 2021-04-01 20:00 Troverld 阅读(236) 评论(0) 推荐(0) 编辑

多项式全家桶

摘要：namespace Poly{ const int N=1<<20; const int mod=998244353; const int G=3; int n,rev[N],f[N],g[N],all; int ksm(int x,int y){ int rt=1; for(;y;x=(1llxx 阅读全文

posted @ 2021-04-01 19:57 Troverld 阅读(36) 评论(0) 推荐(0) 编辑

【模板】多项式除法

摘要：VII.【模板】多项式除法首先，为了方便，我们将

n

$n$ 和

m

$m$ 各自加一。我们设

F^{T}

$F^T$ 为

F

$F$ 的翻转，更准确的定义为

F^{T} (x) = x^{n - 1} F (\frac{1}{x})

$F^T(x)=x^{n-1}F(\dfrac{1}{x})$ 现在我们考虑推式子。由题意，

F (x) = (G Q) (x) + R (x)

$F(x)=(GQ)(x)+R(x)$ 因为这个

x

$x$ 是无实意的，故我们阅读全文

posted @ 2021-04-01 19:54 Troverld 阅读(180) 评论(0) 推荐(0) 编辑

【模板】多项式幂函数 (加强版)

摘要：VII.【模板】多项式幂函数 (加强版) 可以看到这题与上题的唯一区别就是

a_{0}

$a_0$ 的取值。因为我们之前在

\ln

$\ln$ 的时候，是要求

a_{0} = 1

$a_0=1$ 的；而这题不保证

a_{0} = 1

$a_0=1$ ，咋办呢？我们考虑到当

a_{0} \neq 0

$a_0\neq0$ 时，我们有 \(a^k=(\dfrac{a}{a_0})^k\times(a_0 阅读全文

posted @ 2021-04-01 19:53 Troverld 阅读(176) 评论(0) 推荐(0) 编辑

【模板】多项式快速幂

摘要：VI.【模板】多项式快速幂我们要求

g = f^{k}

$g=f^k$ 两边求

\ln

$\ln$ 得到

\ln g = k \ln f

$\ln g=k\ln f$ 然后再幂回去

g = e^{k \ln f}

$g=e^{k\ln f}$ 于是一次

\ln

$\ln$ ，一次

\exp

$\exp$ 即可解决。关于那个超大的

k

$k$ ，在读入的时候直接

mod

$\bmod$ 上去即可。时间复杂度$O(n\log n) 阅读全文

posted @ 2021-04-01 19:52 Troverld 阅读(81) 评论(0) 推荐(0) 编辑

【模板】多项式开根（加强版）

摘要：VI.【模板】多项式开根（加强版）这题和上题唯一的区别就是

a_{0}

$a_0$ 的取值——本题

a_{0}

$a_0$ 不一定为

1

$1$ 。咋办呢？我们观察到里面有一句话：保证

a_{0}

$a_0$ 是

mod 998244353

$\bmod\ 998244353$ 下的二次剩余。二次剩余？这是啥？能吃吗？这时，你突然想起曾经看到过一道模板题：【模板】二次剩余阅读全文

posted @ 2021-04-01 19:50 Troverld 阅读(74) 评论(0) 推荐(0) 编辑

【模板】多项式开根

摘要：V.【模板】多项式开根同之前无数题一样，我们设已知

b 2 \equiv A (\mod x m)

$b2\equiv A\pmod{xm}$ ，并且我们想求出一个

B

$B$ 使得

B 2 \equiv A (\mod x 2 m)

$B2\equiv A\pmod{x{2m}}$ 。首先，显然有

B - b \equiv 0 (\mod x^{m})

$B-b\equiv0\pmod{x^m}$ 老套路，平方一下，得到 \(B^2-2Bb+b^2\equi 阅读全文

posted @ 2021-04-01 19:45 Troverld 阅读(79) 评论(0) 推荐(0) 编辑

【模板】多项式指数函数（多项式 exp）

摘要：IV.【模板】多项式指数函数（多项式 exp）本题有两种解法，一种比较好理解，一种比较通用（并且速度快）。首先法一便是分治FFT解法。我们有

B = e^{A}

$B=e^A$ 于是两边求导，得到

B^{'} = A^{'} e^{A}

$B'=A'e^A$ 因为又有

B = e^{A}

$B=e^A$ ，代入得

B^{'} = A^{'} B

$B'=A'B$ 我们再积分回去，得到 \(\in 阅读全文

posted @ 2021-04-01 19:42 Troverld 阅读(972) 评论(0) 推荐(0) 编辑

【模板】多项式对数函数（多项式 ln）

摘要：III.【模板】多项式对数函数（多项式 ln）这题大概不难吧（我们已知

B \equiv \ln (A)

$B\equiv\ln(A)$ 于是两边求导，就有

B^{'} \equiv \ln^{'} (A)

$B'\equiv\ln'(A)$ 。右边套个链式求导法则，就等于

\ln'(A)\equiv\dfrac{A'}

$\ln'(A)\equiv\dfrac{A'}$ 于是

B'\equiv\dfrac{A'}

$B'\equiv\dfrac{A'}$ 然后两边不定阅读全文

posted @ 2021-04-01 19:40 Troverld 阅读(273) 评论(0) 推荐(0) 编辑

【模板】多项式乘法逆

摘要：II.【模板】多项式乘法逆

F \times G \equiv 1 (\mod x^{n})

$F\times G\equiv1(\operatorname{mod} x^n)$ ？这是啥意思？实际上，它的意思就是

F \times G

$F\times G$ 的

1 \sim n

$1\sim n$ 次幂的系数都为

0

$0$ ，只有常数项为

1

$1$ ，再往上的系数不管。我们考虑递推求解。设我们已经求出了使$F\ 阅读全文

posted @ 2021-04-01 19:38 Troverld 阅读(149) 评论(0) 推荐(0) 编辑

【模板】分治 FFT

摘要：I.【模板】分治 FFT 作为多项式的第一题，这题还是挺好理解的。首先，我们完全可以把

n

$n$ 扩大到

2

$2$ 的次幂，空余地方补上

0

$0$ ，并且答案不变。然后，对于递推式

f_i=\sum\limits_^f_g_j

$f_i=\sum\limits_^f_g_j$ ，我们如果再令

g_{0} = 0

$g_0=0$ 的话，显然这个

j

$j$ 的下界是可以改成

0

$0$ 的——虽然这会使阅读全文

posted @ 2021-04-01 19:36 Troverld 阅读(80) 评论(0) 推荐(0) 编辑

[九省联考2018]秘密袭击coat

摘要：CXLV.[九省联考2018]秘密袭击coat 首先先讲一种暴力但能过的方法。很容易就会往每个值各被计算几次的方向去想。于是我们枚举每个节点，计算有多少种可能下该节点是目标节点。为了避免相同的值的影响，我们在值相同的点间也决出一种顺序，即，若两个值相同的点在作比较，依照上文定下的那种顺序决定。阅读全文

posted @ 2021-03-31 15:27 Troverld 阅读(40) 评论(0) 推荐(0) 编辑

Troverld

博客渲染出问题了那是博客的锅，本人什么都不会做的。

随笔分类 - 数论——FFT/NTT/多项式/生成函数

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