数论——FFT/NTT/多项式/生成函数 - 随笔分类 - Troverld

组合数学学习笔记

摘要：本文绝大部分内容来自《混凝土数学》在被多项式爆踩的时候，我偶然发现了《混凝土数学》这本书，然后兴冲冲入手，一看啥都不会，于是就只能在这里带着推推柿子，尝试理解理解，也方便以后复习。（本文略过了大部分对OI无用的芝士，可以放心食用）（顺带一提这略掉的东西可能还有点多）现在开始！ I.下降幂与上阅读全文

posted @ 2021-04-06 14:29 Troverld 阅读(537) 评论(0) 推荐(0) 编辑

[SDOI2017]龙与地下城

摘要：XVII.[SDOI2017]龙与地下城本题在模意义下和实数意义下，小范围和大范围下各有几种做法。我们此处定义有

n

$n$ 个骰子，每个骰子有

m

$m$ 面。小数据范围明显发现它就是

f(x)=\frac{\sum\limits_xi}

$f(x)=\frac{\sum\limits_xi}$ 的

n

$n$ 次方。于是直接倍增计算快速幂即可。时间复杂度$O(nm\ 阅读全文

posted @ 2021-04-02 15:51 Troverld 阅读(89) 评论(0) 推荐(0) 编辑

[UOJ#498]新年的追逐战

摘要：XXXVI.[UOJ#498]新年的追逐战考虑最simple的场景，即我们要计算的是两张图的乘积

G = G_{1} \times G_{2}

$G=G_1\times G_2$ 。显然，

G

$G$ 中的两个点

(u_{1}, u_{2})

$(u_1,u_2)$ 与

(v_{1}, v_{2})

$(v_1,v_2)$ 联通，当且仅当存在两条长度相等的可以是非简单的路径，满足第一条在 \( 阅读全文

posted @ 2021-04-02 14:57 Troverld 阅读(96) 评论(0) 推荐(1) 编辑

[WC2019]数树

摘要：XXXV.[WC2019]数树首先将问题从”存在路径同时属于两个树“，先转换成被两个树上同时存在的边连成的连通块中的所有边须有相同颜色。进一步地，因为两棵树的并必然是森林，而森林的连通块数即为点数减边数，因此一对树

T_{1}, T_{2}

$T_1,T_2$ 的贡献便是 \(f(T_1,T_2)=y^{n-|T_1\ 阅读全文

posted @ 2021-04-02 14:56 Troverld 阅读(199) 评论(0) 推荐(0) 编辑

Biggest Set Ever

摘要：XXXIV.Biggest Set Ever 可能看不到题，简洁给一下题意：求

\prod_{i = 0}^{T - 1} (1 + x^{i})

$\prod\limits_{i=0}^{T-1}(1+x^i)$ 中所有次数

\equiv m (\mod n)

$\equiv m\pmod{n}$ 的项的系数之和。数据范围：\(0\leq m<n\leq10000,1\leq T<10^ 阅读全文

posted @ 2021-04-02 14:54 Troverld 阅读(59) 评论(0) 推荐(0) 编辑

Jetpack[CSACADEMY]

摘要：XXXIII.Jetpack[CSACADEMY] 我们考虑先通过一些科技求出“一段长度为

2 i

$2i$ 且相邻两位置差的绝对值为

1

$1$ 且首尾都是

0

$0$ 的序列的数量”，记其为

f_{i}

$f_i$ 。大约的确可以列出奇奇怪怪的式子表示

f_{i}

$f_i$ 然后使用奇奇怪怪的可以优化求值的过程，阅读全文

posted @ 2021-04-02 14:53 Troverld 阅读(118) 评论(0) 推荐(0) 编辑

[AGC005F] Many Easy Problem

摘要：XXXII.[AGC005F] Many Easy Problems 直接计算恐怕不太容易，正难则反，考虑一个节点何时不被包含在一个连通块内。显然，假如我们以当前节点为根，则当且仅当集合中所有节点同处在其某一个儿子的子树内，当前节点不在连通块内。我们设

f (i, j)

$f(i,j)$ 表示节点

i

$i$ 阅读全文

posted @ 2021-04-01 20:57 Troverld 阅读(45) 评论(0) 推荐(0) 编辑

[CTS2019]珍珠

摘要：XXXI.[CTS2019]珍珠设

c n t_{i}

$cnt_i$ 为

i

$i$ 颜色的出现次数。则由题意，应有

\sum\limits_^\left\lfloor\dfrac{2}\right\rfloor\geq m

$\sum\limits_^\left\lfloor\dfrac{2}\right\rfloor\geq m$ 下面开始颓式子： \(\begin{aligned}\sum\limits_{i=1}^{D}\l 阅读全文

posted @ 2021-04-01 20:56 Troverld 阅读(41) 评论(0) 推荐(0) 编辑

calc加强版

摘要：XXX.calc加强版没错，这题还有个加强版，要从多项式角度考虑了。首先，很容易就能想到，单个数

a

$a$ 的生成函数即为

1 + a x

$1+ax$ ，而我们要求的就是

\prod\limits_^(1+ix)

$\prod\limits_^(1+ix)$ 这个多项式的前

n

$n$ 项的系数。我们在之前XV.付公主的背包中也碰见过类似的形式。于是我们可以直接套上一个阅读全文

posted @ 2021-04-01 20:54 Troverld 阅读(48) 评论(0) 推荐(0) 编辑

[集训队互测2012] calc

摘要：XXIX.[集训队互测2012] calc 考虑DP。我们设

f (i, j)

$f(i,j)$ 表示所有有

i

$i$ 个数，且每个数都处于

[1, j]

$[1,j]$ 区间内的递增序列的值之和。则答案即为

f (n, m) \times n!

$f(n,m)\times n!$ （因为题目中不限制只有递增序列）我们考虑DP，则有 \(f(i,j)=f(i-1,j-1)\time 阅读全文

posted @ 2021-04-01 20:51 Troverld 阅读(55) 评论(0) 推荐(0) 编辑

[NOI2017]泳池

摘要：XXVIII.[NOI2017]泳池常系数齐次线性递推的应用。我们首先将问题转换为（面积小于等于

K

$K$ 的方案数）减去（面积小于等于

K - 1

$K-1$ 的方案数）。然后考虑两个东西分别DP。我们设当前考虑的是面积小于等于

m

$m$ 的情况。我们设

f_{i, j}

$f_{i,j}$ 表示考虑一段长为

i

$i$ 的沙滩，其中前

j - 1

$j-1$ 阅读全文

posted @ 2021-04-01 20:50 Troverld 阅读(78) 评论(0) 推荐(0) 编辑

【模板】常系数齐次线性递推

摘要：XXVII.【模板】常系数齐次线性递推题意：已知

f_0,\dots,f_

$f_0,\dots,f_$ ，且对于

k \geq m

$k\geq m$ ，有

f_{k} = \sum_{i = 1}^{m} a_{i} f_{k - i}

$f_k=\sum\limits_{i=1}^ma_if_{k-i}$ 其中

a_{1}, \dots, a_{m}

$a_1,\dots,a_m$ 是给定的系数。求

f_{n}

$f_n$ 。我们一个naive的思路就是矩阵快速幂。考虑设阅读全文

posted @ 2021-04-01 20:48 Troverld 阅读(71) 评论(0) 推荐(0) 编辑

WD与积木

摘要：XVI.WD与积木本题有两种思路。首先，两种思路共同的地方在于都将期望化成了

\dfrac{\text{所有方案一共的层数}}{\text{总共的方案数}}\(。我们设其为\)\dfrac

$\dfrac{\text{所有方案一共的层数}}{\text{总共的方案数}}$。我们设其为$\dfrac$ 。思路1：从DP开始我们先考虑求出

g_{n}

$g_n$ 。我们有 \(g_n=\sum\limits_{i=1} 阅读全文

posted @ 2021-04-01 20:44 Troverld 阅读(86) 评论(0) 推荐(0) 编辑

玩游戏

摘要：XXV.玩游戏我们考虑令

f (p)

$f(p)$ 表示游戏的“

p

$p$ 次价值”的期望。则按照期望定义，我们有

f (p) = \frac{\sum_{i = 0}^{n} \sum_{j = 0}^{m} (a_{i} + b_{j})^{p}}{n m}

$f(p)=\dfrac{\sum\limits_{i=0}^n\sum\limits_{j=0}^m(a_i+b_j)^p}{nm}$ 考虑二项式暴力展开，得到 \(f(p)=\dfrac{\su 阅读全文

posted @ 2021-04-01 20:41 Troverld 阅读(117) 评论(0) 推荐(0) 编辑

CF960G Bandit Blues

摘要：XXIV.CF960G Bandit Blues 我们注意到，

n

$n$ 一定是前缀最大值中最靠右的一个以及后缀最大值中最靠左的一个。换句话说，我们在位置

n

$n$ 可以将整个排列划成两半，前一半中恰有

a - 1

$a-1$ 个前缀最大值，而后一半中恰有

b - 1

$b-1$ 个后缀最大值。显然两半的问题是相同的，因为后缀最大值在翻转序阅读全文

posted @ 2021-04-01 20:39 Troverld 阅读(58) 评论(0) 推荐(0) 编辑

CF848E Days of Floral Colours

摘要：XVIII.CF848E Days of Floral Colours 大部分FFT题都是用来优化DP的…… 首先，我们看向环上的某个位置

i

$i$ （自动对

2 n

$2n$ 取模）：

\dots, (i - 2), (i - 1), i, (i + 1), (i + 2), \dots

$\dots,(i-2),(i-1),i,(i+1),(i+2),\dots$ 它有如下几种配对：

(i, i + n)

$(i,i+n)$ 。阅读全文

posted @ 2021-04-01 20:36 Troverld 阅读(50) 评论(0) 推荐(0) 编辑

CF773F Test Data Generation

摘要：XVII.CF773F Test Data Generation 首先先把题意翻译成人话，就是满足两个条件：

n

$n$ 为奇数。

a_{n}

$a_n$ 为

a

$a$ 中含有最少

2

$2$ 次幂的因子的数，且

a_{n}

$a_n$ 中至少含有一个

2

$2$ 。第一个限制很好满足，但是第二个咋办呢？我们再来翻译一下，就是将所有数同除以

2

$2$ 的一个阅读全文

posted @ 2021-04-01 20:33 Troverld 阅读(82) 评论(0) 推荐(0) 编辑

「SWTR-03」Counting Trees

摘要：XVI.「SWTR-03」Counting Trees 说起来他们那场比赛还找我帮忙验了这题来着的，然后我

50

$50%$ 暴力都不会先说结论：任何度数之和等于

2 m - 2

$2m-2$ 的

m

$m$ 个节点，都可以构成至少一颗树。该结论可以通过一个名叫prufer序列的神奇玩意证出。于是我们现在就有这样的判别式： \(\s 阅读全文

posted @ 2021-04-01 20:29 Troverld 阅读(69) 评论(0) 推荐(0) 编辑

付公主的背包

摘要：XV.付公主的背包注意这份题解中

f_{i}

$f_i$ 的意义是

f

$f$ 的

i

$i$ 次项系数，而

f_{i} (x)

$f_i(x)$ 的意义是第

i

$i$ 个多项式！对于每个商品，设它的体积为

v

$v$ ，则我们可以设一个

f

$f$ ，其中

f_{i} = [v | i]

$f_i=[v|i]$ 。则最终的答案，就是所有商品的

f

$f$ 的卷积。我们把

f

$f$ 写成函数的形式，它就变成$f(x) 阅读全文

posted @ 2021-04-01 20:27 Troverld 阅读(51) 评论(0) 推荐(0) 编辑

UVA12298 Super Poker II

摘要：XV.UVA12298 Super Poker II 我们设

f_{i, j}

$f_{i,j}$ 表示遍历完前

i

$i$ 种花色后，有多少种方案凑出和为

j

$j$ 来。再设

g_{i, j}

$g_{i,j}$ 表示第

i

$i$ 种花色是否存在点数为

j

$j$ 的牌。则有$f_{i,j}=\sum\limits_^jf_{i-1,k}\times g_{i,j 阅读全文

posted @ 2021-04-01 20:25 Troverld 阅读(26) 评论(0) 推荐(0) 编辑

Troverld

博客渲染出问题了那是博客的锅，本人什么都不会做的。

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