数论——莫比乌斯反演&狄利克雷卷积 - 随笔分类 - Troverld

摘要：V.[51Nod1355]斐波那契的最小公倍数引理1. 设

f_{i}

$f_i$ 表示斐波那契数列中第

i

$i$ 项，则

gcd (f_{i}, f_{j}) = f_{gcd (i, j)}

$\gcd(f_i,f_j)=f_{\gcd(i,j)}$ 。一种证明方法是打表另一种证明方法是，首先有

f_{i + j} = f_{i - 1} f_{j} + f_{i} f_{j + 1}

$f_{i+j}=f_{i−1}f_j+f_if_{j+1}$ （阅读全文

posted @ 2021-04-09 14:23 Troverld 阅读(131) 评论(0) 推荐(0) 编辑

LOJ#572. 「LibreOJ Round #11」Misaka Network 与求和

摘要：IV.LOJ#572. 「LibreOJ Round #11」Misaka Network 与求和首先先考虑莫反推一波式子。 \(\begin{aligned}&\sum\limits_{i=1}^n\sum\limits_{j=1}^nf^k\Big(\gcd(i,j)\Big)\\=&\sum 阅读全文

posted @ 2021-04-05 23:05 Troverld 阅读(96) 评论(0) 推荐(0) 编辑

[NOI2016] 循环之美

摘要：VII.[NOI2016] 循环之美依据小学数论知识，我们要求

\sum_{i = 1}^{n} \sum_{j = 1}^{m} [gcd (i, j) = 1] [gcd (j, k) = 1]

$\sum\limits_{i=1}^n\sum\limits_{j=1}^m[\gcd(i,j)=1][\gcd(j,k)=1]$ 因为后面的

k

$k$ 是个常数，所以我们就想把它搞出来。 \(\begin{aligned}& 阅读全文

posted @ 2021-04-05 21:55 Troverld 阅读(92) 评论(0) 推荐(0) 编辑

LJJ爱数数

摘要：VI.LJJ爱数数题目给出要求这样的东西

\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{1}{c}

$\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}=\dfrac{1}{c}$ 开始胡搞 \(\begin{aligned}\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}&=\dfrac{1}{c}\\\dfrac{a+b}{ab}&=\dfra 阅读全文

posted @ 2021-04-05 21:53 Troverld 阅读(74) 评论(0) 推荐(0) 编辑

Product

摘要：V.Product 要求这个东西：

\prod_{i = 1}^{n} \prod_{j = 1}^{n} \frac{lcm (i, j)}{gcd (i, j)}

$\prod\limits_{i=1}^n\prod\limits_{j=1}^n\dfrac{\operatorname{lcm}(i,j)}{\gcd(i,j)}$ 开始推式子。 \(\begin{aligned}\\&\prod_{i=1}^n\prod 阅读全文

posted @ 2021-04-05 21:49 Troverld 阅读(294) 评论(0) 推荐(0) 编辑

Lcm

摘要：IV.Lcm 既然上一道题中的DZY都能自定义函数，那我们为什么不能呢？定义

f (x)

$f(x)$ 为

x

$x$ 中是否含有平方项。没有则为

1

$1$ ，有则为

0

$0$ 。显然，它是积性函数。而我们要求的，就是 \(\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^m\dfrac{ij}{\gcd(i,j)}f(\gcd(i,j 阅读全文

posted @ 2021-04-05 21:46 Troverld 阅读(208) 评论(0) 推荐(0) 编辑

DZY Loves Math

摘要：III.DZY Loves Math 题意：求

\sum_{i = 1}^{n} \sum_{j = 1}^{m} f (gcd (i, j))

$\sum\limits_{i=1}^n\sum\limits_{j=1}^mf(\gcd(i,j))$ ，其中

f (x)

$f(x)$ 表示

x

$x$ 的所有质因数中次数最高的一个的次数。近乎套路的一堆操作后，我们得到了 \(\sum\limits_{i=1}^{\ 阅读全文

posted @ 2021-04-05 21:44 Troverld 阅读(41) 评论(0) 推荐(0) 编辑

[CQOI2015]选数

摘要：II.[CQOI2015]选数我们要求这个东西：

\sum_{a_{1} = L}^{R} \sum_{a_{2} = L}^{R} \dots \sum_{a_{n} = L}^{R} [{gcd}_{i = 1}^{n} (a_{i}) = k]

$\sum\limits_{a_1=L}^R\sum\limits_{a_2=L}^R\dots\sum\limits_{a_n=L}^R[\gcd\limits_{i=1}^n(a_i)=k]$ 老套路，除一下，得到 \(\sum\limit 阅读全文

posted @ 2021-04-05 21:42 Troverld 阅读(43) 评论(0) 推荐(0) 编辑

简单的数学题

摘要：I.简单的数学题在做这题之前，我们先来见一位老朋友：

\sum_{i = 1}^{n} \sum_{j = 1}^{n} gcd (i, j)

$\sum\limits_{i=1}^n\sum\limits_{j=1}^n\gcd(i,j)$ 我们在1.v.[NOI2010]能量采集中就已经接触到了这道题。当时我们运用了$\sum\limits_{d|n}\mu(d)=[n=1]\ 阅读全文

posted @ 2021-04-05 21:38 Troverld 阅读(129) 评论(0) 推荐(0) 编辑

杜教筛学习笔记

摘要：3.杜教筛之前在做莫反的题时，有很多题都需要用到杜教筛，因而我非常不爽。因此便来研究杜教筛了。杜教筛可以干什么？在非线性时间内（准确说，

O (n^{\frac{2}{3}})

$O(n^{\frac{2}{3}})$ ）求出某些积性函数的前缀和。例如，

\sum_{i = 1}^{n} μ (i)

$\sum_{i=1}^n\mu(i)$ 。怎么办呢？假设我们要求$S(n 阅读全文

posted @ 2021-04-05 21:36 Troverld 阅读(43) 评论(0) 推荐(0) 编辑

狄利克雷卷积与数论函数学习笔记

摘要：2.狄利克雷卷积与数论函数在1.v.[NOI2010]能量采集中，我们第一次认识到了狄利克雷卷积这个概念。下面我们将介绍它的更多性质。我们之前得到了如下性质： \(\boxed{h(n)=(f*g)(n)\Leftrightarrow h(n)=\sum_{d|T}f(d)*g(\dfrac{T 阅读全文

posted @ 2021-04-05 21:34 Troverld 阅读(224) 评论(0) 推荐(0) 编辑

[51Nod1222]最小公倍数计数

摘要：ix.[51Nod1222]最小公倍数计数求

\sum_{i} \sum_{j} [lcm (i, j) \in [a, b]]

$\sum\limits_{i}\sum\limits_{j}\Big[\operatorname{lcm}(i,j)\in[a,b]\Big]$ 。考虑差分，问题转换为 \(\sum\limits_{i}\sum\limits_{j}\Big[\ 阅读全文

posted @ 2021-04-05 21:32 Troverld 阅读(54) 评论(0) 推荐(0) 编辑

[SDOI2017]数字表格

摘要：viii.[SDOI2017]数字表格题意：求出

\prod_{i = 1}^{n} \prod_{j = 1}^{m} f_{gcd (i, j)}

$\prod\limits_{i=1}^n\prod\limits_{j=1}^mf_{\gcd(i,j)}$ ，其中

f

$f$ 是斐波那契数列。就算是积，我们也一样能反演，只是反演到了指数头上。 \(\begin{aligned}\prod_{i= 阅读全文

posted @ 2021-04-05 21:28 Troverld 阅读(60) 评论(0) 推荐(0) 编辑

[SDOI2014]数表

摘要：vii.[SDOI2014]数表仍然是线性筛筛各种东西。我们引出一个东西

σ (x) = \sum_{d | n} d

$\sigma(x)=\sum\limits_{d|n}d$ ，也就是

x

$x$ 的约数和。这个东西明显是积性函数。设$x=\prod\limits_n(P_i)

， 则

$，则$ \sigma(x)=\prod\limits_n(\sum\ 阅读全文

posted @ 2021-04-05 21:23 Troverld 阅读(48) 评论(0) 推荐(0) 编辑

于神之怒加强版

摘要：vi.于神之怒加强版在这之前，我们引出一个数论函数

i d k (x) = x k

$idk(x)=xk$ 。这个函数就是整数域上的

k

$k$ 次函数。很明显，它是积性函数，准确地说，是完全积性函数。它的两个特例，一是

k = 1

$k=1$ ，就是我们之前提到的

i d

$id$ 函数。二是

k = 0

$k=0$ ，即

i d 0

$id0$ 函数。因为$\forall x\in\mathb 阅读全文

posted @ 2021-04-05 21:18 Troverld 阅读(67) 评论(0) 推荐(0) 编辑

[NOI2010]能量采集

摘要：v.[NOI2010]能量采集真正自己做出来的第一道莫反题祭~~~~ 题意：求

\sum_^n\sum_^m(2\gcd(i,j)-1)

$\sum_^n\sum_^m(2\gcd(i,j)-1)$ 。开始推式子： \(\begin{aligned}\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^m(2\gcd(i,j)-1) & =2\sum_{i=1} 阅读全文

posted @ 2021-04-05 21:14 Troverld 阅读(43) 评论(0) 推荐(0) 编辑

[SDOI2015]约数个数和

摘要：iv.[SDOI2015]约数个数和完蛋了，我们前几题里面都有

gcd (\dots)

$\gcd(\dots)$ ，但是这道题没有，怎么办呢？引理：

d (i j) = \sum_{x | i} \sum_{y | j} [gcd (x, y) == 1]

$\boxed{d(ij)=\sum\limits_{x|i}\sum\limits_{y|j}[\gcd(x,y)==1]}$ 换句话说，两个数

(i, j)

$(i,j)$ 积的因数阅读全文

posted @ 2021-04-05 21:12 Troverld 阅读(45) 评论(0) 推荐(0) 编辑

[HAOI2011]Problem b

摘要：iii.[HAOI2011]Problem b 第一道自己做出来的莫比乌斯反演题祭~~~ 实际上就是对上一道题套上一个类似于二维前缀和的东西。把上一道题的东西的答案设为

c a l c (a, b, d)

$calc(a,b,d)$ ，则依据容斥原理，本题答案即为$calc(b,d,k)-calc(a-1,d,k)-calc(b,c- 阅读全文

posted @ 2021-04-05 21:10 Troverld 阅读(36) 评论(0) 推荐(0) 编辑

[POI2007]ZAP-Queries

摘要：ii.[POI2007]ZAP-Queries 如果前一道题没有听懂的话，是我的锅。毕竟这道题应该放在第一道题，上一道题明显是这道题的升级版。首先，观察一下题目，发现这道题让我们求的就是上一道题中的

f (d)

$f(d)$ 。我们再来推一下

f (d)

$f(d)$ ：设

f (x) \(为 \) gcd (i, j) = x

$f(x)$为$\gcd(i,j)=x$ 的个数，阅读全文

posted @ 2021-04-05 21:07 Troverld 阅读(48) 评论(0) 推荐(0) 编辑

YY的GCD

摘要：I.YY的GCD 这就是莫比乌斯反演？咋长得不像呢？我们看一下式子：

a n s = \sum_{i = 1}^{n} \sum_{j = 1}^{m} [gcd (i, j) i s p r i m e]

$ans=\sum\limits_{i=1}^n\sum\limits_{j=1}^m[\gcd(i,j)\ is\ prime]$ 。其中方括号相当于强制把方括号内的东西转成

b o o l

$bool$ 形。完蛋了，这个里面看不到任何函数，阅读全文

posted @ 2021-04-05 21:05 Troverld 阅读(87) 评论(0) 推荐(0) 编辑

Troverld

博客渲染出问题了那是博客的锅，本人什么都不会做的。

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