数论 - 随笔分类(第5页) - Troverld

摘要：VI.【模板】多项式快速幂我们要求

g = f^{k}

$g=f^k$ 两边求

\ln

$\ln$ 得到

\ln g = k \ln f

$\ln g=k\ln f$ 然后再幂回去

g = e^{k \ln f}

$g=e^{k\ln f}$ 于是一次

\ln

$\ln$ ，一次

\exp

$\exp$ 即可解决。关于那个超大的

k

$k$ ，在读入的时候直接

mod

$\bmod$ 上去即可。时间复杂度$O(n\log n) 阅读全文

posted @ 2021-04-01 19:52 Troverld 阅读(81) 评论(0) 推荐(0) 编辑

【模板】多项式开根（加强版）

摘要：VI.【模板】多项式开根（加强版）这题和上题唯一的区别就是

a_{0}

$a_0$ 的取值——本题

a_{0}

$a_0$ 不一定为

1

$1$ 。咋办呢？我们观察到里面有一句话：保证

a_{0}

$a_0$ 是

mod 998244353

$\bmod\ 998244353$ 下的二次剩余。二次剩余？这是啥？能吃吗？这时，你突然想起曾经看到过一道模板题：【模板】二次剩余阅读全文

posted @ 2021-04-01 19:50 Troverld 阅读(74) 评论(0) 推荐(0) 编辑

【模板】多项式开根

摘要：V.【模板】多项式开根同之前无数题一样，我们设已知

b 2 \equiv A (\mod x m)

$b2\equiv A\pmod{xm}$ ，并且我们想求出一个

B

$B$ 使得

B 2 \equiv A (\mod x 2 m)

$B2\equiv A\pmod{x{2m}}$ 。首先，显然有

B - b \equiv 0 (\mod x^{m})

$B-b\equiv0\pmod{x^m}$ 老套路，平方一下，得到 \(B^2-2Bb+b^2\equi 阅读全文

posted @ 2021-04-01 19:45 Troverld 阅读(79) 评论(0) 推荐(0) 编辑

SOSDP（子集DP）、高维前缀和、FMT（快速莫比乌斯变换）、FWT（快速沃尔什变换）学习笔记

摘要：这里是SOSDP（子集DP）、高维前缀和、FMT（快速莫比乌斯变换）、FWT（快速沃尔什变换）学习笔记。在接下来的讲解中，我们将会发现前三个东西是本质相同的，而最后一个东西是其扩展。本博客在半年前就已经有计划去写了，只不过当时题目较少没能如愿。现在攒了几道题，开始动笔。引入我们首先来看一道最阅读全文

posted @ 2021-03-31 15:45 Troverld 阅读(2385) 评论(4) 推荐(12) 编辑

[CODE FESTIVAL 2017 qual C]Three Gluttons

摘要：CLIV.[CODE FESTIVAL 2017 qual C]Three Gluttons 题解阅读全文

posted @ 2021-03-31 15:39 Troverld 阅读(41) 评论(0) 推荐(0) 编辑

[NOI2018] 冒泡排序

摘要：CL.[NOI2018] 冒泡排序结论1.交换次数压到下界，当且仅当不存在长度大于

2

$2$ 的下降子序列。证明很简单。众所周知的是，冒泡排序的交换次数等于序列逆序对数。要压到下界，与每个点有关的逆序对数都只能为

| i - p_{i} |

$|i-p_i|$ ，因为从

i

$i$ 到

p_{i}

$p_i$ 的过程中本身就要阅读全文

posted @ 2021-03-31 15:34 Troverld 阅读(130) 评论(0) 推荐(0) 编辑

[NOI2019] 机器人

摘要：CXLVIII.[NOI2019] 机器人首先发现每个点向左向右能到达的位置就类似笛卡尔树上一个点的代表区间，不同的是这里有多个最大值时选取最右的一个。于是我们可以想到一个DP，

f_{[i, j], k}

$f_{[i,j],k}$ 表示区间

[i, j]

$[i,j]$ 的最大值恰为

k

$k$ 或不大于

k

$k$ ，两种设的方阅读全文

posted @ 2021-03-31 15:31 Troverld 阅读(102) 评论(0) 推荐(0) 编辑

[九省联考2018]秘密袭击coat

摘要：CXLV.[九省联考2018]秘密袭击coat 首先先讲一种暴力但能过的方法。很容易就会往每个值各被计算几次的方向去想。于是我们枚举每个节点，计算有多少种可能下该节点是目标节点。为了避免相同的值的影响，我们在值相同的点间也决出一种顺序，即，若两个值相同的点在作比较，依照上文定下的那种顺序决定。阅读全文

posted @ 2021-03-31 15:27 Troverld 阅读(40) 评论(0) 推荐(0) 编辑

[AGC013E] Placing Squares

摘要：CXLIII.[AGC013E] Placing Squares 关键是将问题从抽象的“正方形面积”转为具象的形式：一段长度为

d

$d$ 的区间，有两个不同的小球要放进去，则总放置方案就是

d^{2}

$d^2$ ，且不同的区间间方案是通过乘法原理结合的，刚好是题目中

\prod d^{2}

$\prod d^2$ 的形式。阅读全文

posted @ 2021-03-31 15:23 Troverld 阅读(53) 评论(0) 推荐(0) 编辑

[GYM102268J]Jealous Split

摘要：CXXXII.[GYM102268J]Jealous Split wqs二分。首先，先讲一下wqs二分的应用条件：对于某个函数

f (x)

$f(x)$ 和一个特定的

x

$x$ ，要求出

f (x)

$f(x)$ 的值的复杂度是不可接受的；但是，若满足

f

$f$ 是上凸/下凹的，且对于一个给定的

k

$k$ ，阅读全文

posted @ 2021-03-31 15:03 Troverld 阅读(210) 评论(0) 推荐(1) 编辑

[GYM102822I]Invaluable Assets

摘要：CXXVII.[GYM102822I]Invaluable Assets 引理1.最优解法下我们会尽量选取效果为

\sqrt{c}

$\sqrt{c}$ 的肥料。考虑每袋肥料单位效果所需费用——此为

\frac{x^{2} + c}{x}

$\dfrac{x^2+c}{x}$ 。将分数拆开并套上均值，得到最大值在

\sqrt{c}

$\sqrt{c}$ 处取到。阅读全文

posted @ 2021-03-31 14:55 Troverld 阅读(261) 评论(0) 推荐(0) 编辑

CF917D Stranger Trees

摘要：CXX.CF917D Stranger Trees 这里是本题的DP解法。矩阵树定理解法详见矩阵树定理学习笔记中重题III.TopCoder13369-TreeDistance。首先，一个基础结论是，如果一张

n

$n$ 个点的图，被连成一棵森林，则继续加边连成一棵树的方案数是 \(n^{k-2} 阅读全文

posted @ 2021-03-31 14:39 Troverld 阅读(49) 评论(0) 推荐(0) 编辑

[SHOI2009]舞会

摘要：CXIX.[SHOI2009]舞会之前一直在往二项式反演去想，没想到最后居然成了…… 我们考虑将男生和女生全部按照高度递减排序，则对于第

i

$i$ 个男生，能与他构成特殊对的女生必定是一个前缀，设前缀长度为

n u m_{i}

$num_i$ 。显然，

n u m_{i}

$num_i$ 是单调不降的。然后，我们考虑设

f_{i}

$f_i$ 表示钦定

i

$i$ 对匹配阅读全文

posted @ 2021-03-31 14:38 Troverld 阅读(41) 评论(0) 推荐(0) 编辑

[COCI2019]Mobitel

摘要：CXV.[COCI2019]Mobitel 如果正着来DP的话，状态是

O (r s n)

$O(rsn)$ 的，不可能通过。这时，我们就要应用一些数论知识了：若

\prod a_{i} < n

$\prod a_i<n$ ，则 \(\left\lfloor\dfrac{n-1}{\prod a_i}\right\rfloor\geq 1 阅读全文

posted @ 2021-03-31 14:32 Troverld 阅读(89) 评论(0) 推荐(0) 编辑

CF559C Gerald and Giant Ches

摘要：LIV.CF559C Gerald and Giant Chess DP只要一与排列组合或是容斥等等东西结合在一起就会变得极其毒瘤…… 我们设

f_{i}

$f_i$ 表示：走到第

i

$i$ 个黑格子上，且之前没有走到任何一个黑格子时的方案数。则我们如果将棋盘的右下角看作是第

n + 1

$n+1$ 个黑格子，

f_{n + 1}

$f_{n+1}$ 就是答阅读全文

posted @ 2021-03-30 16:24 Troverld 阅读(44) 评论(0) 推荐(0) 编辑

CF264B Good Sequences

摘要：LII.CF264B Good Sequences 状态很显然。设

f [i]

$f[i]$ 表示位置

i

$i$ 的最长长度。关键是转移——暴力转移是

O (n^{2})

$O(n^2)$ 的。我们必须找到一个更优秀的转移。因为一个数的质因子数量是

O (\log n)

$O(\log n)$ 的，而只有和这个数具有相同质因子的数是可以转移的；因此我们可以对于每个阅读全文

posted @ 2021-03-30 16:22 Troverld 阅读(74) 评论(0) 推荐(0) 编辑

CF1251F Red-White Fence

摘要：XVI. "CF1251F Red White Fence" 这题充分显现出了FFT~~工具人~~的本性。对于这个奇奇怪怪的图形的周长，我们平移平移就能发现，它为

(红木板长度+总木板数量) 2

$\text{(红木板长度+总木板数量)} 2$ 。有了这个结论，我们只需要枚举当前用的是哪块红木板（红木板数量

\leq 5

$\leq 5$ ），再求出阅读全文

posted @ 2020-04-25 12:09 Troverld 阅读(121) 评论(0) 推荐(0) 编辑

[HEOI2016/TJOI2016]求和

摘要：XV. "[HEOI2016/TJOI2016]求和" 题意：求一个东西

\sum_{i = 0}^{n} \sum_{j = 0}^{i} S_{i}^{j} 2^{j} j!

$\LARGE\sum\limits_{i=0}^n\sum\limits_{j=0}^iS_i^j 2^j j!$ 其中

S_{i}^{j}

$S_i^j$ 为第二类斯特林数，递推公式为$S_n^m=S_{n 1}^{m 1}+m S_{n 1}^ 阅读全文

posted @ 2020-04-25 12:08 Troverld 阅读(258) 评论(0) 推荐(0) 编辑

[SDOI2017]序列计数

摘要：XIV. "[SDOI2017]序列计数" 一眼看出这题就是

答案 = 总数量 不选质数数量

$\text{答案}=\text{总数量} \text{不选质数数量}$ 。反正两个都是随便卷卷就出来了。不过，这题模数极为恶心，要么逼着你敲任意模数NTT（~~很明显我不会~~），要么就只能写FFT。但是，FFT会挂掉，因为不能及时取模，阅读全文

posted @ 2020-04-25 12:06 Troverld 阅读(117) 评论(0) 推荐(0) 编辑

[SDOI2015]序列统计

摘要：XIII. "[SDOI2015]序列统计" 一个非常naive的想法就是多项式快速幂。我们令一个函数

f_{1} (x) = [x \in S]

$f_1(x)=[x\in S]$ 。并有

f_{i} (x) = \sum_{i j \equiv x \mod m} f_{i 1} (i) f_{i 1} (j)

$f_i(x)=\sum\limits_{ij\equiv x\mod m}f_{i 1}(i) f_{i 1}(j)$ 。则答案为

f_{n} (x)

$f_n(x)$ 。后面那阅读全文

posted @ 2020-04-25 12:03 Troverld 阅读(214) 评论(0) 推荐(0) 编辑

Troverld

博客渲染出问题了那是博客的锅，本人什么都不会做的。

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