数论 - 随笔分类(第4页) - Troverld

摘要：XXVII.【模板】常系数齐次线性递推题意：已知

f_0,\dots,f_

$f_0,\dots,f_$ ，且对于

k \geq m

$k\geq m$ ，有

f_{k} = \sum_{i = 1}^{m} a_{i} f_{k - i}

$f_k=\sum\limits_{i=1}^ma_if_{k-i}$ 其中

a_{1}, \dots, a_{m}

$a_1,\dots,a_m$ 是给定的系数。求

f_{n}

$f_n$ 。我们一个naive的思路就是矩阵快速幂。考虑设阅读全文

posted @ 2021-04-01 20:48 Troverld 阅读(71) 评论(0) 推荐(0) 编辑

WD与积木

摘要：XVI.WD与积木本题有两种思路。首先，两种思路共同的地方在于都将期望化成了

\dfrac{\text{所有方案一共的层数}}{\text{总共的方案数}}\(。我们设其为\)\dfrac

$\dfrac{\text{所有方案一共的层数}}{\text{总共的方案数}}$。我们设其为$\dfrac$ 。思路1：从DP开始我们先考虑求出

g_{n}

$g_n$ 。我们有 \(g_n=\sum\limits_{i=1} 阅读全文

posted @ 2021-04-01 20:44 Troverld 阅读(86) 评论(0) 推荐(0) 编辑

玩游戏

摘要：XXV.玩游戏我们考虑令

f (p)

$f(p)$ 表示游戏的“

p

$p$ 次价值”的期望。则按照期望定义，我们有

f (p) = \frac{\sum_{i = 0}^{n} \sum_{j = 0}^{m} (a_{i} + b_{j})^{p}}{n m}

$f(p)=\dfrac{\sum\limits_{i=0}^n\sum\limits_{j=0}^m(a_i+b_j)^p}{nm}$ 考虑二项式暴力展开，得到 \(f(p)=\dfrac{\su 阅读全文

posted @ 2021-04-01 20:41 Troverld 阅读(118) 评论(0) 推荐(0) 编辑

CF960G Bandit Blues

摘要：XXIV.CF960G Bandit Blues 我们注意到，

n

$n$ 一定是前缀最大值中最靠右的一个以及后缀最大值中最靠左的一个。换句话说，我们在位置

n

$n$ 可以将整个排列划成两半，前一半中恰有

a - 1

$a-1$ 个前缀最大值，而后一半中恰有

b - 1

$b-1$ 个后缀最大值。显然两半的问题是相同的，因为后缀最大值在翻转序阅读全文

posted @ 2021-04-01 20:39 Troverld 阅读(58) 评论(0) 推荐(0) 编辑

CF848E Days of Floral Colours

摘要：XVIII.CF848E Days of Floral Colours 大部分FFT题都是用来优化DP的…… 首先，我们看向环上的某个位置

i

$i$ （自动对

2 n

$2n$ 取模）：

\dots, (i - 2), (i - 1), i, (i + 1), (i + 2), \dots

$\dots,(i-2),(i-1),i,(i+1),(i+2),\dots$ 它有如下几种配对：

(i, i + n)

$(i,i+n)$ 。阅读全文

posted @ 2021-04-01 20:36 Troverld 阅读(50) 评论(0) 推荐(0) 编辑

CF773F Test Data Generation

摘要：XVII.CF773F Test Data Generation 首先先把题意翻译成人话，就是满足两个条件：

n

$n$ 为奇数。

a_{n}

$a_n$ 为

a

$a$ 中含有最少

2

$2$ 次幂的因子的数，且

a_{n}

$a_n$ 中至少含有一个

2

$2$ 。第一个限制很好满足，但是第二个咋办呢？我们再来翻译一下，就是将所有数同除以

2

$2$ 的一个阅读全文

posted @ 2021-04-01 20:33 Troverld 阅读(82) 评论(0) 推荐(0) 编辑

「SWTR-03」Counting Trees

摘要：XVI.「SWTR-03」Counting Trees 说起来他们那场比赛还找我帮忙验了这题来着的，然后我

50

$50%$ 暴力都不会先说结论：任何度数之和等于

2 m - 2

$2m-2$ 的

m

$m$ 个节点，都可以构成至少一颗树。该结论可以通过一个名叫prufer序列的神奇玩意证出。于是我们现在就有这样的判别式： \(\s 阅读全文

posted @ 2021-04-01 20:29 Troverld 阅读(70) 评论(0) 推荐(0) 编辑

付公主的背包

摘要：XV.付公主的背包注意这份题解中

f_{i}

$f_i$ 的意义是

f

$f$ 的

i

$i$ 次项系数，而

f_{i} (x)

$f_i(x)$ 的意义是第

i

$i$ 个多项式！对于每个商品，设它的体积为

v

$v$ ，则我们可以设一个

f

$f$ ，其中

f_{i} = [v | i]

$f_i=[v|i]$ 。则最终的答案，就是所有商品的

f

$f$ 的卷积。我们把

f

$f$ 写成函数的形式，它就变成$f(x) 阅读全文

posted @ 2021-04-01 20:27 Troverld 阅读(51) 评论(0) 推荐(0) 编辑

UVA12298 Super Poker II

摘要：XV.UVA12298 Super Poker II 我们设

f_{i, j}

$f_{i,j}$ 表示遍历完前

i

$i$ 种花色后，有多少种方案凑出和为

j

$j$ 来。再设

g_{i, j}

$g_{i,j}$ 表示第

i

$i$ 种花色是否存在点数为

j

$j$ 的牌。则有$f_{i,j}=\sum\limits_^jf_{i-1,k}\times g_{i,j 阅读全文

posted @ 2021-04-01 20:25 Troverld 阅读(26) 评论(0) 推荐(0) 编辑

CF623E Transforming Sequence

摘要：XIII.CF623E Transforming Sequence 这题仔细一想还挺简单的……但是我一直在想有标号的DP，但实际上只需要用无标号DP即可…… 首先，一眼可以看出当

n > k

$n>k$ 时无解，可以直接特判掉。则我们设

f [i] [j]

$f[i][j]$ 表示当前填到第

i

$i$ 个数，且前

i

$i$ 个数$\operator 阅读全文

posted @ 2021-04-01 20:22 Troverld 阅读(31) 评论(0) 推荐(0) 编辑

差分与前缀和

摘要：XII.差分与前缀和打表出奇迹我们先考虑前缀和。对于两个下标

i, j

$i,j$ ，我们考虑

k

$k$ 阶前缀和后，位置

j

$j$ 会被加上多少个

a_{i}

$a_i$ 。显然，加上

a_{i}

$a_i$ 的数量，仅与

j - i

$j-i$ 的值有关。于是我们就打表辣

k

$k$ \

j - i

$j-i$ 0 1 2 3 4 1 1 1 1 1 1 2 阅读全文

posted @ 2021-04-01 20:19 Troverld 阅读(74) 评论(0) 推荐(0) 编辑

CF438E The Child and Binary Tree

摘要：XI.CF438E The Child and Binary Tree 经典老题我们可以设一个

G

$G$ ，其中

G_{x} = [\exists i \ c_{i} = x]

$G_x=[\exists\ i\ \text\ c_i=x]$ ，即是否存在

x

$x$ 这个值。我们再设

F_{x}

$F_x$ 表示权值为

x

$x$ 的二叉树的方案数。很明显有

F_{0} = 1

$F_0=1$ 。则我们枚举树根的阅读全文

posted @ 2021-04-01 20:14 Troverld 阅读(48) 评论(0) 推荐(0) 编辑

[集训队作业2013]城市规划

摘要：XI.[集训队作业2013]城市规划各类计数问题是多项式最常见的场景。这里有一个套路，就是设

f (x)

$f(x)$ 为合法个数，

g (x)

$g(x)$ 为全部个数，然后往往

g

$g$ 可以被

f

$f$ 与

g

$g$ 表示出来，且

g

$g$ 本身有通项公式，然后就可以简单求解了。例如这题。我们设

f (x)

$f(x)$ 为联通图个数，

g (x)

$g(x)$ 为全部无向阅读全文

posted @ 2021-04-01 20:13 Troverld 阅读(38) 评论(0) 推荐(0) 编辑

拉格朗日插值2

摘要：X.拉格朗日插值2 从这题开始，拉格朗日插值就逐渐同多项式同流合污了。我们列出式子：

f (m + i) = \sum_{j = 0}^{n} f (j) \prod_{k \neq j} \frac{m + i - k}{j - k}

$f(m+i)=\sum\limits_{j=0}^nf(j)\prod\limits_{k\neq j}\dfrac{m+i-k}{j-k}$ 借鉴前面的思想，我们将它转成了 \(f(m+i)=\sum\l 阅读全文

posted @ 2021-04-01 20:10 Troverld 阅读(86) 评论(0) 推荐(0) 编辑

CF622F The Sum of the k-th Powers

摘要：IX.CF622F The Sum of the k-th Powers 看上去这题是上一题的弱化版，但其实不是——上题我们要筛出式子，但是这题我们要保证复杂度。首先，我们打算选取

0 \sim k + 1

$0\sim k+1$ ，共

k + 2

$k+2$ 个点进行插值。我们设

f_{x} = \sum_{x} i k

$f_x=\sum\limits_x ik$ 。则由拉格朗日插阅读全文

posted @ 2021-04-01 20:05 Troverld 阅读(74) 评论(0) 推荐(0) 编辑

[TJOI2018]教科书般的亵渎

摘要：VIII.[TJOI2018]教科书般的亵渎这题主要是介绍拉格朗日插值模板那题中，我们提到的“求出

f (x)

$f(x)$ 的多项式表达”的做法。首先，这题显然如果我们令

f (x) = \sum_{i} m + 1

$f(x)=\sum\limits_i{m+1}$ ，且

a_{m + 1} = n + 1

$a_{m+1}=n+1$ 的话，答案就是 \(\sum\limits_{i=1}^{m 阅读全文

posted @ 2021-04-01 20:03 Troverld 阅读(85) 评论(0) 推荐(0) 编辑

【模板】拉格朗日插值

摘要：VII.【模板】拉格朗日插值我们之前一直在研究多项式。但是多项式都是从哪来的呢？所以拉格朗日插值就给了我们一种求多项式的方式。具体而言，运用拉格朗日插值，你可以根据

n + 1

$n+1$ 个点求出一个

n

$n$ 次多项式来经过这所有点。我们来看一下这具体是怎么实现的。我们定义拉格朗日基本多项式为： \(\box 阅读全文

posted @ 2021-04-01 20:00 Troverld 阅读(236) 评论(0) 推荐(0) 编辑

多项式全家桶

摘要：namespace Poly{ const int N=1<<20; const int mod=998244353; const int G=3; int n,rev[N],f[N],g[N],all; int ksm(int x,int y){ int rt=1; for(;y;x=(1llxx 阅读全文

posted @ 2021-04-01 19:57 Troverld 阅读(36) 评论(0) 推荐(0) 编辑

【模板】多项式除法

摘要：VII.【模板】多项式除法首先，为了方便，我们将

n

$n$ 和

m

$m$ 各自加一。我们设

F^{T}

$F^T$ 为

F

$F$ 的翻转，更准确的定义为

F^{T} (x) = x^{n - 1} F (\frac{1}{x})

$F^T(x)=x^{n-1}F(\dfrac{1}{x})$ 现在我们考虑推式子。由题意，

F (x) = (G Q) (x) + R (x)

$F(x)=(GQ)(x)+R(x)$ 因为这个

x

$x$ 是无实意的，故我们阅读全文

posted @ 2021-04-01 19:54 Troverld 阅读(180) 评论(0) 推荐(0) 编辑

【模板】多项式幂函数 (加强版)

摘要：VII.【模板】多项式幂函数 (加强版) 可以看到这题与上题的唯一区别就是

a_{0}

$a_0$ 的取值。因为我们之前在

\ln

$\ln$ 的时候，是要求

a_{0} = 1

$a_0=1$ 的；而这题不保证

a_{0} = 1

$a_0=1$ ，咋办呢？我们考虑到当

a_{0} \neq 0

$a_0\neq0$ 时，我们有 \(a^k=(\dfrac{a}{a_0})^k\times(a_0 阅读全文

posted @ 2021-04-01 19:53 Troverld 阅读(176) 评论(0) 推荐(0) 编辑

Troverld

博客渲染出问题了那是博客的锅，本人什么都不会做的。

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