数论 - 随笔分类 - Troverld

[AGC038E] Gachapon

摘要：VI.[AGC038E] Gachapon 因为模型同III.重返现世长得很像，所以我们也来考虑minmax容斥。首先，我们仍然翻出式子 \(\max(\mathbb S)=\sum\limits_{\mathbb{T\subseteq S}}(-1)^{|\mathbb T|+1}\min(\m 阅读全文

posted @ 2021-04-09 14:24 Troverld 阅读(179) 评论(0) 推荐(0) 编辑

[51Nod1355]斐波那契的最小公倍数

摘要：V.[51Nod1355]斐波那契的最小公倍数引理1. 设

f_{i}

$f_i$ 表示斐波那契数列中第

i

$i$ 项，则

gcd (f_{i}, f_{j}) = f_{gcd (i, j)}

$\gcd(f_i,f_j)=f_{\gcd(i,j)}$ 。一种证明方法是打表另一种证明方法是，首先有

f_{i + j} = f_{i - 1} f_{j} + f_{i} f_{j + 1}

$f_{i+j}=f_{i−1}f_j+f_if_{j+1}$ （阅读全文

posted @ 2021-04-09 14:23 Troverld 阅读(131) 评论(0) 推荐(0) 编辑

UOJ#422. 【集训队作业2018】小Z的礼物

摘要：IV.UOJ#422. 【集训队作业2018】小Z的礼物考虑直接上minmax容斥。然后，考虑DP求出对于所有的

(| T |, min (T))

$\Big(|\mathbb T|,\min(\mathbb T)\Big)$ 二元组，满足其的

T

$\mathbb T$ 个数。又因为

n

$n$ 很小，我们尝试轮廓线DP。故阅读全文

posted @ 2021-04-09 14:21 Troverld 阅读(94) 评论(0) 推荐(0) 编辑

[PKUWC2018]随机游走

摘要：II.[PKUWC2018]随机游走无脑上minmax容斥。问题转换为求从起点

S

$S$ 出发，到达集合

S

$\mathbb S$ 中某一点的期望时间。因为有环，考虑直接爆上高斯消元，时间复杂度

O (n^{3} 2^{n})

$O(n^32^n)$ 。看上去不太能过？但是这份代码卡常卡得比较优美，加上又没有出菊花图卡阅读全文

posted @ 2021-04-09 14:17 Troverld 阅读(108) 评论(0) 推荐(0) 编辑

[HAOI2015]按位或

摘要：I.[HAOI2015]按位或在本题中，

min S

$\min\mathbb S$ 表示

S

$\mathbb S$ 中第一个被取到的位置被取到的时间，

max S

$\max\mathbb S$ 表示最后一个被取到的位置被取到的时间。则我们要求的就是

E (max S)

$\text E(\max\mathbb S)$ 。现在，阅读全文

posted @ 2021-04-09 14:15 Troverld 阅读(55) 评论(0) 推荐(0) 编辑

minmax容斥学习笔记

摘要：这里是minmax容斥学习笔记。 minmax容斥是一种神奇的可以在一个集合的

min

$\min$ 和

max

$\max$ 间架起桥梁的工具。它的公式如下： \(\max(\mathbb S)=\sum\limits_{\mathbb{T\subseteq S}}(-1)^{|\mathbb T|+1} 阅读全文

posted @ 2021-04-09 14:14 Troverld 阅读(177) 评论(0) 推荐(0) 编辑

组合数学学习笔记

摘要：本文绝大部分内容来自《混凝土数学》在被多项式爆踩的时候，我偶然发现了《混凝土数学》这本书，然后兴冲冲入手，一看啥都不会，于是就只能在这里带着推推柿子，尝试理解理解，也方便以后复习。（本文略过了大部分对OI无用的芝士，可以放心食用）（顺带一提这略掉的东西可能还有点多）现在开始！ I.下降幂与上阅读全文

posted @ 2021-04-06 14:29 Troverld 阅读(537) 评论(0) 推荐(0) 编辑

exBSGS学习笔记

摘要：VII.exBSGS（扩展大步小步算法）同理，exBSGS适用于

a^{x} \equiv b (\mod p)

$a^x\equiv b\pmod p$ 的情形。只不过，这里不再要求

a ⊥ p

$a\perp p$ （这里

⊥

$\perp$ 符号表示互质）。若

gcd (a, p) \neq 1

$\gcd(a,p)\neq1$ ，则记其为

d_{1}

$d_1$ ，显然

a

$a$ 阅读全文

posted @ 2021-04-06 11:10 Troverld 阅读(128) 评论(0) 推荐(0) 编辑

BSGS学习笔记

摘要：VI.BSGS（大步小步算法）欢迎来到北上广深拔山盖世比赛搞事不算个事算法学习现场。 BSGS，全名 Baby Step Giant Step 算法，是用于求解

a^{x} \equiv b (\mod p)

$a^x\equiv b\pmod p$ ，其中

gcd (a, p) = 0

$\gcd(a,p)=0$ 的算法。我们记 \(K=\sqrt{p} 阅读全文

posted @ 2021-04-06 11:08 Troverld 阅读(65) 评论(0) 推荐(0) 编辑

阶与原根学习笔记

摘要：V.阶与原根实际上这部分内容在OI中应用很少，但它是一些重要思想以及算法的基础。阶是在互质数

(a, m)

$(a,m)$ 间的定义：满足

a^{n} \equiv 1 (\mod m)

$a^n\equiv1\pmod m$ 的最小

n

$n$ 被称作

a

$a$ 模

m

$m$ 的阶，记作

δ_{m} (a)

$\delta_m(a)$ 。明显，在 \(a,m 阅读全文

posted @ 2021-04-06 11:06 Troverld 阅读(306) 评论(0) 推荐(0) 编辑

卢卡斯定理学习笔记

摘要：III.Lucas（卢卡斯定理） Lucas定理：

(\binom{n}{m}) \equiv (\binom{n mod p}{m mod p}) \times (\binom{n / p}{m / p}) (\mod p)

$\boxed{\dbinom nm\equiv\dbinom{n\bmod p}{m\bmod p}\times\dbinom{n/p}{m/p}\pmod p}$ 该式子仅适用于

p

$p$ 为质数的情形。证明：首先，对于 \(i\in 阅读全文

posted @ 2021-04-06 11:02 Troverld 阅读(113) 评论(0) 推荐(0) 编辑

扩展中国剩余定理学习笔记

摘要：II.exCRT（扩展中国剩余定理）上文我们说到，CRT仅适用于

m

$m$ 两两互质的情形。那如果不保证这一限制，明显原方程是仍然有解的，如何求解呢？在上文的最后，我们成功将三个式的方程消到了两个，在这里能否继续？我们考虑这个式子：

x = a + α A = b + β B

$x=a+\alpha A=b+\beta B$ 其等阅读全文

posted @ 2021-04-06 11:01 Troverld 阅读(67) 评论(0) 推荐(0) 编辑

中国剩余定理学习笔记

摘要：I.CRT（中国剩余定理）中国剩余定理：已知方程

{\begin{cases} x \equiv a_{1} (\mod m_{1}) \\ ⋮ \\ x \equiv a_{n} (\mod m_{n}) \end{cases}

$\begin{cases}x\equiv a_1\pmod{m_1}\\\vdots\\x\equiv a_n\pmod{m_n}\end{cases}$ 则我们设$M=\prod\limits_nm_i,M_i=\dfrac,b_i=(M 阅读全文

posted @ 2021-04-06 10:59 Troverld 阅读(64) 评论(0) 推荐(0) 编辑

LOJ#572. 「LibreOJ Round #11」Misaka Network 与求和

摘要：IV.LOJ#572. 「LibreOJ Round #11」Misaka Network 与求和首先先考虑莫反推一波式子。 \(\begin{aligned}&\sum\limits_{i=1}^n\sum\limits_{j=1}^nf^k\Big(\gcd(i,j)\Big)\\=&\sum 阅读全文

posted @ 2021-04-05 23:05 Troverld 阅读(96) 评论(0) 推荐(0) 编辑

UOJ#188. 【UR #13】Sanrd

摘要：III.UOJ#188. 【UR #13】Sanrd 题意：求

\sum_{i = l}^{r} f (i)

$\sum\limits_{i=l}^rf(i)$ ，其中

f (i)

$f(i)$ 为

i

$i$ 的次大质因子。显然其可以被转为两个前缀和相减的形式。明显

f (i)

$f(i)$ 并非积性函数，所以常规min25筛处理不了。但是我们可以用非阅读全文

posted @ 2021-04-05 23:01 Troverld 阅读(87) 评论(0) 推荐(0) 编辑

LOJ#6053. 简单的函数

摘要：II.LOJ#6053. 简单的函数重申一下min25筛应用的条件：是积性函数。质数处取值是低阶多项式。质数次幂处取值可以快速求出。满足以上三点的任意函数均可以min25筛。现在看到这题。乍一看

p xor a

$p\operatorname{xor}a$ 这种东西看上去一脸非多项式的样子；但是因为阅读全文

posted @ 2021-04-05 22:59 Troverld 阅读(124) 评论(0) 推荐(0) 编辑

min25筛学习笔记

摘要：4.min25筛听说这玩意能干杜教筛干不了的事？同杜教筛一样，这也是用来求积性函数前缀和的东西。其复杂度为

O (\frac{n^{0.75}}{\log n})

$O(\dfrac{n^{0.75}}{\log n})$ ，大部分时候要略优于杜教筛。 min25筛作用的积性函数，应保证对于一切质数

p

$p$ ，

f (p)

$f(p)$ 均是有关 \(p\ 阅读全文

posted @ 2021-04-05 22:36 Troverld 阅读(64) 评论(0) 推荐(0) 编辑

[NOI2016] 循环之美

摘要：VII.[NOI2016] 循环之美依据小学数论知识，我们要求

\sum_{i = 1}^{n} \sum_{j = 1}^{m} [gcd (i, j) = 1] [gcd (j, k) = 1]

$\sum\limits_{i=1}^n\sum\limits_{j=1}^m[\gcd(i,j)=1][\gcd(j,k)=1]$ 因为后面的

k

$k$ 是个常数，所以我们就想把它搞出来。 \(\begin{aligned}& 阅读全文

posted @ 2021-04-05 21:55 Troverld 阅读(92) 评论(0) 推荐(0) 编辑

LJJ爱数数

摘要：VI.LJJ爱数数题目给出要求这样的东西

\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{1}{c}

$\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}=\dfrac{1}{c}$ 开始胡搞 \(\begin{aligned}\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}&=\dfrac{1}{c}\\\dfrac{a+b}{ab}&=\dfra 阅读全文

posted @ 2021-04-05 21:53 Troverld 阅读(74) 评论(0) 推荐(0) 编辑

Product

摘要：V.Product 要求这个东西：

\prod_{i = 1}^{n} \prod_{j = 1}^{n} \frac{lcm (i, j)}{gcd (i, j)}

$\prod\limits_{i=1}^n\prod\limits_{j=1}^n\dfrac{\operatorname{lcm}(i,j)}{\gcd(i,j)}$ 开始推式子。 \(\begin{aligned}\\&\prod_{i=1}^n\prod 阅读全文

posted @ 2021-04-05 21:49 Troverld 阅读(294) 评论(0) 推荐(0) 编辑

Troverld

博客渲染出问题了那是博客的锅，本人什么都不会做的。

随笔分类 - 数论

公告

搜索

常用链接

随笔分类

随笔档案

阅读排行榜

评论排行榜

推荐排行榜