猫树 学习笔记

参考资料

猫老师博客，日报，一篇题解

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概述

猫树，一种支持快速查询区间信息的数据结构，可以维护各种满足结合律的信息，如区间和，区间最值，平均数等

可以在 $O(nlogn)$ 的预处理下 $O(1)$ 查询信息。在很多时候可以代替 ST表 或线段树等数据结构（但修改比较麻烦相当于重建

适用于一些不需要支持修改操作，且询问较多的题目。

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实现

预处理：

我们把区间长度开到 $2^i$。为什么后面讲（

然后对于整个区间取 $mid$ 然后对于 $mid~1$ 倒序维护，对于 $mid+1~len(2^i)$ 进行正序遍历。时间复杂度 $O(n)$。

然后对左右区间继续分，继续处理。

查询：

我们考虑对于区间 $[l,r]$，我们考虑如果 $[l,r]$ 不能同时被一个节点分成两段（不一定平分），

那么他们一定在一个节点左儿子或右儿子包含的区间内，向下迭代即可。

如果被分成两段，那么我们直接查询信息即可。

因为在这一层 $l$~$mid$ 的区间的信息都维护在了 $f_l$ 上，$mid+1$~$r$ 的区间的信息都维护在了 $f_r$ 上,所以直接合并即可。

很容易发现这个点就是两个节点在这棵猫树上的 $LCA$！

那么现在的问题就转化为求两点 $LCA$ 所在层。（因为我们将同一层的信息维护到同一维数组里）

但我们查询效率是 $O(1)$ 的，所以我们考虑从树的结构下功夫。

我们把数组开到了$2^i$ 就是为了现在！我们很容易发现在堆式结构存储的猫树上两点 $LCA$ 即为两点的 $LCP$（最长公共前缀）！（大家可以手模一下。

所以我们把两个数异或起来求 $log$ 再求原来点的 $log$，相减即为深度。

以ST表模板题为例：

#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cmath>
 
using namespace std;

static char buf[100000],*pa=buf,*pd=buf;
#define gc pa==pd&&(pd=(pa=buf)+fread(buf,1,100000,stdin),pa==pd)?EOF:*pa++
inline int read()
{
    register int x(0);register char c(gc);
    while(c<'0'||c>'9')c=gc;
    while(c>='0'&&c<='9')x=(x<<1)+(x<<3)+(c^48),c=gc;
    return x;
}
void print(int x){
    if(x<0) {putchar('-');x=-x;}
    if(x>9) print(x/10);
    putchar(x%10+'0');
}

const int N=1e5+5;
int n,m,a[N<<1],l,r;
int len=1,f[N<<1][25],t[N<<1],lg[N<<2];

void build(int node,int l,int r,int dep){
    if(l==r){
        t[r]=node;
        return ;
    }
    int mid=(l+r)>>1;
    build(node<<1,l,mid,dep+1);
    build(node<<1|1,mid+1,r,dep+1);
    f[mid][dep]=a[mid];
    for(int i=mid-1;i>=l;i--)
        f[i][dep]=max(f[i+1][dep],a[i]);
    f[mid+1][dep]=a[mid+1];
    for(int i=mid+2;i<=r;i++)
        f[i][dep]=max(f[i-1][dep],a[i]);
}

int main(){
    n=read();m=read();
    for(int i=1;i<=n;i++) a[i]=read();
    while(len<n) len*=2;
    build(1,1,len,1);
    lg[0]=1;lg[1]=1;
    for(int i=2;i<=len*2;i++) lg[i]=lg[i/2]+1;
    while(m--){
        l=read(),r=read();
        if(l==r) print(a[r]);
        else{
            int k=lg[t[r]]-lg[t[l]^t[r]];
             print(max(f[l][k],f[r][k]));
        }
        printf("\n");
    }
    return 0;
}

需要注意的是，猫树不支持修改（会T飞

不想写ST表的时候可以写一写（

慎用！（不过考场基本用不上