数据结构之最短路径(2) [弗洛伊德算法]
【1】为什么需要弗洛伊德算法？
带权图中单个源点到所有顶点的最短路径问题可以用《迪杰斯特拉算法》求解。
那如果要求图中每一个顶点与其它顶点之间的最短路径呢？类似可以想到的方法为：
每次以一个顶点为源点，重复执行地杰斯特拉算法算法n次。
这样，理论上我们便可以求得每一个顶点与其它顶点的最短路径，总的执行时间为O(n3）。
好吧！为了实现这个中需求，可以采用另外一种求解算法：弗洛伊德算法。
为了更好的理解弗洛伊德算法的精妙，我们先看简单的案例。
如下图是一个最简单的3个顶点连通网图:
附上dist数组与prev数组：(左边为dist 右边为prev)
【2】弗洛伊德算法
弗洛伊德算法是非常漂亮的算法，简洁直观大气上档次。
不过很可惜由于它的三重循环，因此也是O(n*n*n)的时间复杂度。
如果你面临需要求所有顶点至所有顶点的最短路径问题？
它是很好的选择。
[如果上面的不太懂那就直接看代码就好啦，代码更容易懂一些]
代码如下：
1 #include "stdafx.h" 2 #include<iostream> 3 #include<string> 4 #define MAX_VERTEX_NUM 100 5 #define INFINITY 65535 6 typedef int Pathmatirx[MAX_VERTEX_NUM][MAX_VERTEX_NUM]; 7 typedef int ShortPathTable[MAX_VERTEX_NUM][MAX_VERTEX_NUM]; 8 using namespace std; 9 typedef struct Graph //有向图的邻接矩阵 10 { 11 char vexs[MAX_VERTEX_NUM]; //存放顶点的数组 12 int arcs[MAX_VERTEX_NUM][MAX_VERTEX_NUM];//定义一个临界矩阵 13 int vexnum, arcnum; //总顶点数、总边数 14 }Graph; 15 16 int LocateVex(Graph G, char ch) //搜索 17 { 18 for (int i = 0; i < G.vexnum; i++) 19 if (G.vexs[i] == ch) 20 return i; 21 return -1; 22 } 23 24 void CreateGraph(Graph &G) //创建无向图 25 { 26 char c1, c2; //弧尾、弧头 27 int i, j, weight; //weight为权重 28 cout << "请输入总顶点数、总边数(空格隔开):"; 29 cin >> G.vexnum >> G.arcnum; 30 cout << "请输入顶点信息(空格隔开):" << endl; 31 for (i = 0; i < G.vexnum; i++) 32 { 33 cin >> G.vexs[i]; 34 } 35 for (i = 0; i < G.vexnum; i++) 36 for (j = 0; j < G.vexnum; j++) 37 G.arcs[i][j] = INFINITY; 38 cout << "请输入弧尾、弧头以及权值:" << endl; 39 for (int k = 0; k < G.arcnum; k++) 40 { 41 cin >> c1 >> c2 >> weight; 42 i = LocateVex(G, c1); 43 j = LocateVex(G, c2); 44 G.arcs[i][j] = weight; 45 } 46 } 47 48 void ShortestPath_Floyd(Graph G, int prev[MAX_VERTEX_NUM][MAX_VERTEX_NUM], int dist[MAX_VERTEX_NUM][MAX_VERTEX_NUM]) 49 { //Floyd算法，求网图G中个顶点v到其余顶点w最短路径prev[v][w]及带权长度dist[v][w] 50 int v, w, k; 51 for (v = 0; v < G.vexnum; v++) 52 for (w = 0; w < G.vexnum; w++) //初始化dist与prev 53 { 54 dist[v][w] = G.arcs[v][w]; //dist[v][w]值即为对应点间的权值 55 prev[v][w] = w; //初始化prev 56 } 57 for (k = 0; k < G.vexnum; k++) //更新路径 58 for (v = 0; v < G.vexnum; v++) 59 for (w = 0; w < G.vexnum; w++) 60 { //如果经过下标为k顶点路径比原两点间路径更短 61 if (dist[v][w] > dist[v][k] + dist[k][w]) 62 { 63 dist[v][w] = dist[v][k] + dist[k][w]; 64 prev[v][w] = prev[v][k]; //路径设置经过下标为k的顶点 65 } 66 } 67 for (v = 0; v < G.vexnum; v++) //输出函数 68 { 69 for (w = v + 1; w < G.vexnum; w++) 70 { 71 cout << G.vexs[v] << " - " << G.vexs[w] << " weight: " << dist[v][w]<<" "; 72 int k = prev[v][w]; 73 cout << "path: " << G.vexs[v]; 74 while (k != w) 75 { 76 cout << "->" << G.vexs[k]; 77 k = prev[k][w]; 78 } 79 cout << "->" << G.vexs[w]<<" "; 80 } 81 cout << endl; 82 } 83 } 84 85 int main() 86 { 87 Graph G; 88 int prev[MAX_VERTEX_NUM][MAX_VERTEX_NUM]; 89 int dist[MAX_VERTEX_NUM][MAX_VERTEX_NUM]; 90 int v0; 91 CreateGraph(G); 92 ShortestPath_Floyd(G, prev, dist); 93 94 }
测试结果:
