动态规划的具体操作，分四步

动态规划是我学的最蛋 疼的一个问题。大家觉得呢

•动态规划算法的一般步骤

1.找出最优解的性质，并刻画其结构特征；

2.递归地定义最优值；

3.以自底向上的方式计算出最优值；

根据计算最优值时得到的信息，构造最优解

 

下面用一个例子来说明。

 

矩阵连乘问题（自行百度查一下是什么哈）

•将矩阵连乘积AiAi+1…Aj记作A[i:j]

–把问题转化成考察A[1:n]的最优计算次序问题

–设计算次序在A[k]处将矩阵断开最优，则总计算量为： A[1:k] 的计算量加上A[k+1:n]的计算量，再加上A[1:k] 和A[k+1:n]相乘的计算量。

关键特征

lA[1:n]的最优计算次序所包含的计算矩阵子链A[1:k]和A[k+1:n]的次序也是最优的。（可用反证法证明）

——问题的最优解包含了其子问题的最优解，这种性质称为最优子结构性质。

对矩阵：A1A2A3A4A5A6，可能的最优解A1(A2A3)|A4(A5A6)

最优解：A[1:6]=A[1:3]+A[4:6]+A[1:3]*A[4:6]

 –A[1:3]与A[4:6]也必分别为最优解（计算总量最少），因为其无关；

 –若有A’[1:3]小于A[1:3],由后两项不改变，则A[1:6]不是最小，故与前提矛盾；

 

 

递归地定义最优值。

•设计算A[i:j],1≤i≤j ≤n，所需的最少数乘次数为m[i][j]

——则原问题的最优解为m[1][n]

–考察两种情况

•i=j;

•i<j;

m[i][j] = 0+m[i+1][j]+ p[i-1]*p[i]*p[j];

for (k = i+1; k < j; k++) {

  t = m[i][k] + m[k+1][j] + p[i-1]*p[k]*p[j];

  if (t < m[i][j])  m[i][j] = t;

}

 

void MatrixChain(int *p，int n，int **m，int **s) {
      for (j = 2; j <= n; j++)
          for (i = j-1; i >= 1; i--) {
              m[i][j] = m[i+1][j]+ p[i-1]*p[i]*p[j];
              s[i][j] = i;
              for (k = i+1; k < j; k++) {
                 t = m[i][k] + m[k+1][j] + p[i-1]*p[k]*p[j];
                 if (t < m[i][j]) { m[i][j] = t; s[i][j] = k; }
              }
          }
} //算法的计算时间上界为O(n3)