嵌入子流形与浸入子流形

在微分几何中，嵌入子流形和浸入子流形表示一个低维流形如何嵌入高维流形中。

嵌入子流形(也说正则子流形，regular submanifold)指的是一个低维流形能够完全嵌入到高维流形中，即可以把低维流形看作高维流形的一个真子集。具体来说，如果一个$m$维流形能够嵌入到一个$n$维流形中，且$m<n$，则称这个$m$维流形为$n$维流形的嵌入子流形。

例如，一个平面可以完全嵌入到三维空间中，因此平面是三维空间的一个嵌入子流形。

另一方面，浸入子流形指的是一个低维流形可以在高维流形中局部地嵌入，但不一定能够完全嵌入到高维流形中。具体来说，如果一个$m$维流形可以在一个$n$维流形中找到一个局部嵌入的映射，且$m<n$，则称这个$m$维流形为$n$维流形的浸入。

例如，一个在三维空间中的螺旋线是三维空间的一个浸入子流形，因为它可以在一段小区域内嵌入到三维空间中，但不能够完全嵌入。

总结：嵌入子流形是能够完全(全局)嵌入到高维流形中的低维流形，而浸入子流形是在高维流形中局部嵌入的低维流形。