朱刘算法(最小树形图)
一.概念
1.算法本质:最小生成树算法在有向图上的应用。
2.最小树形图定义:以某点为根的一棵最小的有向树。
3.树形图:
(1)无环;
(2)每个点的入度为1。
二.算法思路
是一个迭代算法。
1.除根外,对于每个点,找出所有入边中,权值最小的边。
2.选出的边中是否存在环,无环,则算法结束;有环(环与环不相交),步骤3。
3.将环缩点,得到新图 G’,新图中的边,①环内部的边,直接删去;②终点在环内的边,
4.最多迭代
证明:对于一个环,①至少需要去掉一条边,树形图嘛,肯定不能有环的;②必然存在一个最优解只去一条边。
三.代码
最小树形图
持续更新。(还没调出来)
点击查看代码
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
using namespace std;
inline int read(){
int w=0,f=1;char ch=getchar();
while(ch<'0'||ch>'9'){
if(ch=='-') f=-1;
ch=getchar();
}
while(ch>='0'&&ch<='9'){
w=w*10+ch-'0';
ch=getchar();
}
return w*f;
}
const int N=105;
int n,m,r;
bool vis[N];
int g[N][N],pre[N],id[N],bd[N][N];
int dfn[N],low[N],dfc,tp,sta[N],cnt;
bool ins[N];
//判断是否有解
void dfs(int x){
vis[x]=1;
for(int i=1;i<=n;i++)
if(g[x][i]<0x3f3f3f3f&&!vis[i])
dfs(i);
}
bool check(){
dfs(r);
for(int i=1;i<=n;i++){
if(!vis[i]) return false;
}
return true;
}
//tarjan求环
void tarjan(int x){
dfn[x]=low[x]=++dfc;
sta[++tp]=x,ins[x]=1;
int j=pre[x];
if(!dfn[j]){
tarjan(j);
low[x]=min(low[x],low[j]);
}else if(ins[j]) low[x]=min(low[x],dfn[j]);
if(low[x]==dfn[x]){
int y;
++cnt;
do{
y=sta[tp--],ins[y]=0,id[y]=cnt;
}while(y!=x);
}
}
int work(){
int res=0;
//不断迭代
while(1){
//找到最小的入边
for(int i=1;i<=n;i++){
pre[i]=i;
for(int j=1;j<=n;j++)
if(g[pre[i]][i]>g[j][i])
pre[i]=j;
}
//多次迭代,需要初始化
memset(dfn,0,sizeof(dfn));
dfc=cnt=0;
//tarjan
for(int i=1;i<=n;i++)
if(!dfn[i]) tarjan(i);
//无环,累加答案,输出
if(cnt==n){
for(int i=1;i<=n;i++){
if(i==r) continue;
res+=g[pre[i]][i];
}
break;
}
//累加当前图中环上边的贡献
for(int i=1;i<=n;i++){
if(i==r) continue;
if(id[pre[i]]==id[i])
res+=g[pre[i]][i];
}
//初始化缩点图
memset(bd,0x3f,sizeof(bd));
//缩点
for(int i=1;i<=n;i++)
for(int j=1;j<=n;j++)
if(g[i][j]<0x3f3f3f3f&&id[i]!=id[j]){//非环上边
int a=id[i],b=id[j];
if(id[pre[j]]==id[j]) bd[a][b]=min(bd[a][b],g[i][j]-g[pre[j]][j]);//终点在环上的边
else bd[a][b]=min(bd[a][b],g[i][j]);//终点不在环上的边
}
n=cnt,r=id[r];
memcpy(g,bd,sizeof(g));
}
return res;
}
int main(){
// freopen("1.in","r",stdin);
// freopen("1.out","w",stdout);
n=read(),m=read(),r=read();
memset(g,0x3f,sizeof(g));
for(int i=1;i<=m;i++){
int u=read(),v=read(),w=read();
g[u][v]=w;
}
if(!check()) cout<<-1;
else cout<<work();
return 0;
}
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