网络流学习笔记摘要

一.流函数的性质

1.容量限制：

$f(x,y)<=c(x,y)$。

2.斜对称：

$f(x,y)=-f(y,x)$。

3.流量守恒：

除源点和汇点外，任何节点流入总量等于流出总量。

网络流：在不超过容量限制的前提下，“流”从源点源源不断地产生，流经整个网络，最终全部归于汇点。

二.最大流

1.定义：

使得整个网络的流量（也可以理解为从源点流出来量）最大的流函数。

2.用途：

可解决二分图最大匹配/多重匹配问题。

3.Edmonds-Karp增广路算法

（1）算法思想：不断用 BFS 寻找增广路，直至网络中不存在增广路为止。
（2）重点：反向边的用途:给程序“反悔”的机会。
（3）时间复杂度：$O(n{m}^2)$。一般能处理${10}^3$~${10}^4$规模的网络。
（4）代码

4.Dinic算法

三.最小割

1.定义：

边的容量之和最小的割。

2.最大流最小割定理：

任何一个网络的最大流量等于最小割中边的容量之和。

3.构造：

求出最大流后，从源点开始沿残量网络 BFS，标记能够到达了点。E 中所有连接“已标记的点 $x$”和“未被标记的点 $y$”的边$(x,y)$ 构成网络的最小割。

四.费用流

1.定义：

总花费最小的最大流被称为最小费用最大流；
总花费最大的最大流被称为最大费用最大流。
（前提是最大流，然后再考虑费用）。

2.用途：

可解决二分图带权最大匹配。

3.Edmonds-Karp增广路算法

“用 BFS 寻找一条包含边数最少的增广路”改为“用 SPFA 寻找一条费用之和最小的增广路”。
注：反向边权应为$-w(x,y)$。

知识点大概就这些吧，手感做题找。