图论

最小生成树

一.Kruskal

1.定理：

任意一棵最小生成树一定包含无向图中权值最小的边。

2.步骤:

（1）建立并查集，每个点单独构成集合。
（2）边从小到大排序，依次扫描每条边。
（3） $x$ ， $y$ 属于同一集合，忽略这条边。
（4）否则，合并 $x$ ， $y$ 所在的集合，累加边权。
(5)所有边扫完后，即为答案。

3.时间复杂度：

$O (m l o g m)$ 。

4.代码：

点击查看代码

int n,m,f[100005],ans;
struct edge{
	int u;
	int v;
	int w;
}e[200005];
bool cmp(edge a,edge b){
	return a.w<b.w;
}
int get(int x){
	if(f[x]==x) return x;
	return f[x]=get(f[x]);
}
void Kruskal(){
	sort(e+1,e+1+m,cmp);
	for(int i=1;i<=n;i++) f[i]=i; 
	for(int i=1;i<=m;i++){
		int u=get(e[i].u);
		int v=get(e[i].v);
		if(u==v) continue;
		f[u]=v;
		ans+=e[i].w;
	}
	cout<<ans;
}

二.Prim

1.区分：

与 Kruskal 算法（由若干小集合#去合成更大的集合，过程中有若干个集合）不同的是，Prim 算法总是维护最小生成树的一部分（由一个总集合
去拓展点，使该集合更大，过程中始终有一个集合）。

2.步骤：

（1）最初仅确定1号节点属于最小生成树。
（2)类似于蓝白点思想，每次只拓展一个离总集合最近的一个元素。
（3）拓展 $n - 1$ 次求出答案。

3.时间复杂度：

$O (n^{2})$ 。
二叉堆优化： $O (m l o g n)$ 。

4.适用范围：

多用于稠密图，尤其是完全图的最小生成树求解。

5.代码：

点击查看代码

int a[3005][3005],d[3005],n,m,ans;//a用来存边 
bool v[3005];
void Prim(){
	memset(d,0x3f,sizeof(d));
	d[1]=0;
	for(int i=1;i<n;i++){
		int x=0;
		for(int j=1;j<=n;j++)
		    if(!v[j]&&(x==0||d[j]<d[x])) x=j;
		v[x]=1;
		for(int j=1;j<=n;j++)
		    if(!v[j]) d[j]=min(d[j],a[x][j]); 
	}
	for(int i=2;i<=n;i++) ans+=d[i];
	cout<<ans;
}

最短路

一.Dijkstra

1.步骤：

（1）初始化： $d i s t_{1} = 0$ ，其余节点的 $d i s t$ 置为正无穷。
（2）找出一个未被标记的， $d i s t$ 值最小的节点 $x$ ，然后标记节点 $x$ 。
（3）扫描 $x$ 的所有出边，松弛其他节点的 $d i s t$ 。
（4）重复（2）（3），直到所有节点都被标记。

2.时间复杂度：

$O (n^{2})$ 。
二叉堆优化： $O ((n + m) l o g n)$ 。

3.使用限制：

不能有负边。

4.代码：

点击查看代码

int a[3005][3005],dist[3005],n,m;
bool v[3005];
void Dijkstra(){
	memset(d,0x3f,sizeof(d));
	memset(v,0,sizeof(v));
	d[1]=0;
	for(int i=1;i<n;i++){
		int x=0;
		for(int j=1;j<=n;j++)
		    if(!v[j]&&(x==0||d[j]<d[x])) x=j;
		v[x]=1;
		for(int j=1;j<=n;j++)
		    d[j]=min(d[j],d[x]+a[x][j]);
 	}
}

二.Bellman-Ford

1.原理：

对于图中的某一条边 $(x, y, z)$ ，有 $d i s t [y] <= d i s t [x] + z$ 成立，则称该边满足三角形不等式。若所有边都满足三角形不等式，则 $d i s t$ 数组就是所求最短路。

2.步骤：

基于迭代思想。
（1）扫描所有边 $(x, y, z)$ ，若 $d i s t [y] > d i s t [x] + z$ ，则用 $d i s t [x] + z$ 更新 $d i s t [y]$ 。
（2）重复上述步骤，直到没有更新操作发生。

3.时间复杂度：

$O (n m)$ 。

4.适用范围：

可处理有负边/负环的最短路，有限路线最短路。

5.代码：

点击查看代码

int a[3005][3005],dist[3005],backup[3005];
struct edge{
	int u;
	int v;
	int w;
}e[200005];
void Bellman_Ford(){
	memset(dist,0x3f,sizeof(dist));
	dist[1]=0;
	for(int i=1;i<=k;i++){
		memcpy(backup,dist,sizeof(dist));
		for(int j=1;j<=m;j++){
			int u=e[i].u;
			int v=e[i].v;
			int w=e[i].w;
			dis[v]=min(dist[v],backup[a]+w);
		} 
	}
}

三.SPFA

1.步骤：

队列优化的 Bellman-Ford 算法(避免了 Bellman-Ford 对不需要扩展的节点的冗余扫描）。
（1）建立一个队列，最初只有起点。
（2）取出队头节点 $x$ ，扫描它的所有出边 $(x, y, z)$ ，若 $d i s t [y] > d i s t [x] + z$ ，则使用 $d i s t [x] + z$ 更新 $d i s t [y]$ 。同时，若 $y$ 不在队列中，则把 $y$ 入队。
（3）重复上述步骤，直至队列为空。

2.时间复杂度：

随机图： $O (k m)$ （ $k$ 是一个较小的常数）。
特殊构造图： $O (n m)$ 。

3.适用范围：

可处理负边。

4.代码：

点击查看代码

const int N=100010,M=1000010;
int head[N],ver[N],edge[M],Next[M],d[N];
int n,m,tot;
queue<int> q;
bool v[N];
void add(int x,int y,int z){
	ver[++tot]=y;
	edge[tot]=z;
	Next[tot]=head[x];
	head[x]=tot;
}
void Spfa(){
	memset(d,0x3f,sizeof(d));
	d[1]=0;v[1]=1;
	q.push(1);
	while(!q.empty()){
		int x=q.front();
		q.pop();
		for(int i=head[x];i;i=Next[i]){
			int y=ver[i],z=edge[i];
			if(d[y]>d[x]+z){
				d[y]=d[x]+z;
				if(!v[y]) q.push(y),v[y]=1;
			}
		}
	}
}

四.Floyd

负环

负环判定

一.Bellman-Ford 判负环

若经过 $n$ 次迭代，算法仍未结束（仍有能产生更新的边），则图中存在负环。

若 $n - 1$ 轮迭代以内，算法结束（所有边满足三角形不等式），则图中无负环。

二.SPFA 判负环

1.设 $c n t [x]$ 表示从1到 $x$ 的最短路径包含的边数， $c n t [1] = 0$ 。当执行更新 $d i s t [y] = d i s t [x] + z$ 时，同样更新 $c n t [y] = c n t [x] + 1$ 。此时发现 $c n t [y] >= n$ ，则图中有负环。若算法正常结束，则图中没有负环。
2.记录每个点入队的次数，次数达到 $n$ 时说明有负环。

差分约束

1.原理：

将约束条件 $X_{i} - X_{j} <= c_{k}$ 变形为 $X_{i} <= X_{j} + c_{k}$ 。这与单源最短路径问题中的三角形不等式 $d i s t_{y} <= d i s t_{x} + z$ 非常相似。因此，可以把变量 $X_{i}$ 看作有向图的一个节点 $i$ 连一条长度为 $c_{k}$ 的有向边。

2.步骤：

（1）先求一组负数解，之后增加0节点，令 $X_{0} = 0$ ,这样就多了 $N$ 个形如 $X_{i} - X_{0} <= 0$ 的约束条件，应该从节点0向每个节点 $i$ 连一条长度为0的有向边。
（2） $d i s t [0] = 0$ ，以0为起点求单源最短路。若图中存在负环，则给定的差分约束系统无解。否则， $X_{i} = d i s t [i]$ 就是差分约束系统的一组解。

Tarjan 与无向图连通性

零.前置知识

1. $d f n_{x}$ ->时间戳(访问的先后顺序)。
2. $l o w_{x}$ ->追溯值
（1）初始 $l o w_{x} = d f n_{x}$ 考虑从 $x$ 出发的每条边 $(x, y)$ 。
（2）若在搜索树上 $x$ 是 $y$ 的父节点，则令 $l o w_{x} = m i n (l o w_{x}, l o w_{y})$ 。
若无向边 $(x, y)$ 不是搜索树上的边，则令 $l o w_{x} = m i n （ l o w_{x}, d f n_{y})$ 。

一.桥（割边）

1.定义：

从图中删去边 $e$ 之后， $G$ 分裂成两个不相连的子图，则称 $e$ 为 $G$ 的桥或割边。

2.判定法则

无向边 $(x, y)$ 是桥，当且仅当搜索树上存在 $x$ 的一个子节点 $y$ ，满足：
$d f n [x] < l o w [y]$ 。

3.代码：

点击查看代码

const int SIZE=100010;
int head[SIZE],ver[SIZE*2],Next[SIZE*2];
int dfn[SIZE],low[SIZE],n,m,tot,sum;
bool bridge[SIZE*2];
void add(int x,int y){
	ver[++tot]=y;
	Next[tot]=head[x];
	head[x]=tot;
} 
void tarjan(int x,int in_edge){
	dfn[x]=low[x]=++dfc;
	for(int i=head[x];i;i=Next[i]){
		int y=ver[i];
		if(!dfn[y]){
			tarjan(y,i);
			low[x]=min(low[x],low[y]);
			if(low[y]>dfn[x])
			    bridge[i]=bridge[i^1]=1; 
		}else if(i!=(in_edge^1))
		    low[x]=min(low[x],dfn[y]);
	}
}
for(int i=1;i<=n;i++) if(!dfn[i]) tarjan(i,0);

二.割点

1.定义：

从图中删去节点 $x$ ，以及所有与 $x$ 关联的边之后， $G$ 分裂成两个或两个以上不相连的子图，则称 $x$ 为 $G$ 的割点。

2.判定法则：

（1） $x$ 不是根节点，则 $x$ 是个点当且仅当搜索树上存在 $x$ 的一个子节点 $y$ 满足 $d f n [x] <= l o w [y]$ 。
（2） $x$ 是根节点，则 $x$ 是割点当且仅当搜索树上存在至少两个子节点 $y_{1}, y_{2}$ 满足上述条件。

3.代码：

点击查看代码

const int SIZE=100010;
int head[SIZE],ver[SIZE*2],Next[SIZE*2];
int dfn[SIZE],low[SIZE],stack[SIZE];
int n,m,tot,num,root;
bool cut[SIZE];
void add(int x,int y){
	ver[++tot]=y;
	Next[tot]=head[x];
	head[x]=tot;
}
void tarjan(int x){
	dfn[x]=low[x]=++num;
    int flag=0;
    for(int i=head[x];i;i=Next[i]){
    	int y=ver[i];
		if(!dfn[y]){
			tarjan(y);
			low[x]=min(low[x],low[y]);
			if(low[v]>=dfn[x]){
				flag++;
				if(x!=root||flag>1) cnt[x]=true;
			}
		}else low[x]=min(low[x],dfn[y]); 
	}  
}

三.无向图的双连通分量

1.定理

一张无向连通图是“点双连通图”，当且仅当满足下面两个条件之一：
（1）图中顶点数不超过2。
（2）图中任意两点都同时包含在至少一个简单环中。

posted @ 2022-12-03 08:33 Travller 阅读(32) 评论(0) 编辑收藏举报

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