2.5 循环结构程序设计 习题
习题 2-1
打印出所有的“水仙花数”，所谓“水仙花数”是指一个三位数，其各位数字立方和等于该数本身。
例如：153是一个“水仙花数”，因为153=13+53+33。
程序 2-1
#include<stdio.h> int main() { int i = 100; while (i < 1000) { int A = i /100; int B = i / 10 % 10; int C = i % 10; if (i == A * A * A + B * B * B + C * C *C) printf("%d\n", i); i++; } return 0; }
习题2-2 韩信点兵
相传韩信才智过人，从不直接清点自己军队的人数，只要让士兵先后以三人一排，五人一排，七人一排地变换队形，而他每次只掠一眼队伍的排尾就知道总人数了。输入包含多组数据，每组数据包含3个非负整数a，b，c， 表示每种队形排尾人数（a<3,b<5,c<7）,输出总人数的最小值（或报告无解）。已知总人数不小于10，不超过100。输入到文件结束为止。
【分析】第一种方法直接暴力求解，最容易想到。第二种方法是我在搜索资料时发现的，顺便就学了并用代码实现了下。
程序 2-2 （a）
#include<stdio.h> int main() { int a, b, c, kase = 0; while(scanf("%d %d %d", &a, &b, &c) == 3); { for (int i = 10; i <= 100; i++) { //直接判断 i 是否满足条件 if (i % 3 == a && i % 5 == b && i % 7 == c) { printf("Case %d : %d \n", ++kase, i); break; } if (i == 100) { printf("Case %d : No answer \n", ++kase); break; } } } return 0; }
算法简单的使用了中国剩余定理。
接下来是直接贴有关知识点。
一般地有如下定义
定义 对于整数 a 、b及自然数 n ，如有
a = n q1 + r1 ，（r1 ＜n）
b = n q2 + r2 , （r2 ＜n） 并且r1= r2
则称a与b对于模n同余，记作a≡b（mod n ）上式叫做同余式。
还需要下面两个定理
定理1 如a被n除所得的余数等b被n除所得的余数，c被n除所得的余数等于d被n除所得的余数， 则ac被n除所得的余数等于b d被n除所得的余数。
用同余式叙述就是：
如a≡b（mod n ），c≡d（mod n ）
则ac≡b d（mod n ）
定理2 被除数a加上或减去除数b的倍数，再除以b，余数r不变。即
如a ≡ r（mod b ），则a ± b n≡r（mod b ）
例如70≡1（mod 3 ）可得70±10×3≡1（mod 3 ）
例如：一个数除以3余2，除以5余3，除以7余2，求适合条件的最小的自然数χ。
解：由题意可得同余式组
Χ≡2（mod 3 ）
Χ≡3（mod 5 ）
Χ≡2（mod 7）
解：[ 5，7]=35，35≡2（mod 3 ），35为5与7的倍数，且被3除余2
[ 3，7]=21，21≡1（mod 5），又3≡3（mod 5），由定理1 得，
21×3≡1×3（mod 5 ），即63≡3（mod 5 ），63为3yu7的倍数，且被5除余3
[ 3，5]=15，15≡1（mod 7），又2≡2（mod 7），由定理1 得，
15×2≡1×2（mod7 ），即30≡2（mod 7），30为3与5的倍数，且被7除余2
35+63+30=128 由定理2 知
128≡2（mod3）
128≡3（mod 5）
128≡2（mod 7）
128适合题中条件但不是最小的数
又∵[3，5， 7]=105
∴128 －105=23
由定理2 知，23仍适合条件且是最小的自然数。
※ ※ ※ ※ ※ ※ ※
例如：一个数除以5余4，除以7余2，除以11余8，求适合条件的最小的自然数χ。
解：由题意可得同余式组
Χ≡4（mod 5 ）
Χ≡2（mod 7 ）
Χ≡8（mod 11）
[ 7，11]=77，77≡2（mod 5 ）又2≡2（mod 5 ），由定理1 得，
77×2≡2×2（mod 5 ），即154≡4（mod 5 ）
154为7与11的倍数，且被5除余4
[ 5，11]=55，55≡6（mod 7 ），又5≡5（mod 7 ），由定理1 得，
55×5≡6×5（mod 7），275≡30（mod 7），
275为5与11的倍数，且被7除余2
[ 5，7]=35，35≡2（mod 11 ），又4≡2（mod 11 ），由定理1 得，
35×4≡2×4（mod 11 ），即140≡8（mod 11 ）
140为5与7的倍数，且被11除余8
154+275+140=569 由定理2 知
569≡4（mod 5 ）
569≡2（mod 7 ）
569≡8（mod 11）
569适合题中条件但不是最小的数
又∵[5， 7，11]=385
∴569 －385=184
代码实现如下：
程序 2-2 （b）
#include<stdio.h> int main() { //分别找出能被两个数整除，而满足被第三个整除余一的最小的数 int a, b, c, total, kase = 0; while (scanf("%d%d%d",&a, &b, &c) == 3) { int A = 0, B = 0, C = 0; //首先要满足能被两个数整除 A = 5 * 7; //然后要满足能被第三个数除余且值为相对应的a，b，c //若不满足，根据定理一进行相乘处理 if (A % 3 != a) { A = A * a; } B = 3 * 7; if (B % 5 != b) { B = B *b; } C = 3 * 5; if (C % 7 != c) { C = C * c; } //得出一个初步值 total = A + B + C; //初步值不一定是满足条件的最小值，若比公倍数大则要减去公倍数 if (total > 105) { total -= 105; } //最后进行验算，并判断是不是在条件区间内 if (total % 3 == a && total % 5 == b && total % 7 == c && total > 10 && total < 100) { printf("Case %d : %d\n", ++kase, total); } else { printf("Case %d : No answer", ++kase); } } return 0; }
习题 2-3 输入正整数 n <= 20, 输出一个n层的倒三角形。
没难度直接上代码
程序 2-3
#include<stdio.h> int main() { int n = 0; scanf("%d", &n); for (int i = 1; i <= n; i++) { int space = i -1; for (int j = 0; j < space; j++) printf(" "); int jinhao = 2 * n - 2 * i +1; for (int k = 0; k < jinhao; k++) printf("#"); printf("\n"); } }
习题 2-4子序列求和
输入两个正整数， n < m < 106, 输出1 / n2 + 1 / (n + 1)2 + …… + 1 / m2 ，保留5位小数。输入包含多组数据，结束标记为 n = m = 0。
样例输入：
2 4
65536 655360
0 0
样例输出：
Case 1 : 0.42361
Case 2 : 0.00001
程序 2-4
#include<stdio.h> int main() { int n, m; int kase = 0; double sum= 0; while(scanf("%d %d", &n, &m) == 2 && n) { sum = 0; for (int i =n; i <= m; i++) { long temp = i * i;; sum += 1.0 / temp; } printf("Case %d : %.6f\n", ++kase, sum); } }
本题有陷阱，数字太大乘法会溢出，观察发现1 / 100002对结果影响很小了，可以考虑定一个界限，再大的值定为0；
习题 2-5 分数化小数
输入正整数a，b，c， 输出 a/b的小数形式，精确到小数点 c 位。 a,b <= 10, c <= 100。输入包含多组数据,结束标记为 a = b = c = 0;
样例输入：
1 6 4
0 0 0
程序 2-5
#include<stdio.h> int main() { int a, b, c, kase = 0; while(scanf("%d%d%d", &a, &b, &c) == 3 && a) { double decimal = a * 1.0 / b; //注意通配符 * 号和取代 * 号的 c 的顺序 printf("Case %d : %.*f\n", ++kase, c, decimal); } return 0; }
习题2-6 排列
用1， 2， 3 ……9组成的3个三位数字 abc，def，ghi，每个数字恰好使用一次，要求 abc：def：ghi = 1：2：3。按照“abc def ghi ”的格式输出所有解，每行一个解。
【分析】有两个难点。
1.每个数字只用一次。
2.abc：def：ghi = 1：2：3
程序2-6
#include<stdio.h> int main() { //只需给出 abc 就可以通过 *2， *3得到def，ghi //abc 最小为 123 int abc = 123; //abc最大值为329，应为 abc*3最大为987 for (abc; abc <= 329; abc++) { int a,b,c,def,d,e,f,ghi,g,h,i,sum,mul; a = abc / 100; b = abc / 10 % 10; c = abc % 10; def = abc * 2; d = def / 100; e = def / 10 % 10; f = def % 10; ghi = abc * 3; g = ghi / 100; h = ghi / 10 % 10; i = ghi % 10; //将每个数的每位值分别相加，相乘 sum = a + b + c + d + e + f + g + h +i; mul = a *b * c * d * e * f * g * h * i; //因为每个数字只用一次，所以他们的和始终为 45 ，积始终为 362880 if (sum == 45 && mul == 362880) printf("%d %d %d\n", abc, def, ghi); } return 0; }
