两种背包问题的学习记录

##有关01背包

#采药

       一开始就如同大多数的蒟蒻一样，本人也只会一点点dp，于是就想到了用递归，

因为只用考虑到一层的情况，毕竟方便理解，很容易就得出了一下的方程

 

dp[x][y]=max(dps(x+1,y+c[x])+v[x],dps(x+1,y));

 

       用x表示个数，用y来表示容量，一次只考虑当前这种放不放，超方便又好理解；

#一维压缩

    在上面情况里用了二维数组，但其实可以压缩到一维，对于当前的种类可以省略，

当时看题解的时候用了各种状态转移方程的推导，头都炸了，直到GWX巨佬指点，

      对于基础的背包，我们在第i个物品的时候可以这样想，一个背包能放下这个物品，

那么就比较它和不放时候的大小，这里我用了for循环，方便一会与无限背包做比较；

1  for(i=1;i<=M;i++){
2         for(j=T;j>=t[i];j--)
3             f[j]=max(f[j],f[j-t[i]]+p[i]);
4 }

 

      这里面i表示了物品，而j就表示在背包容量为j时的背包，于是这段程序的意思就是在i物品时遍历背包的情况；

在j容量的情况下，f[j-t[i]]+p[i]其实就是表示你在j-t[i]容量的背包里放了一个i物品。这就很动归。

    需要注意的是j一定是从右往左计算的，这个就是他和无限背包的最大区别，下面会说。

##有关无限背包

#疯狂的采药

        这种背包区别于普通的背包在于它的一个物品可以无限装，本身与上面上面的没什么区别，

用二维数组的话只要多引入一个变量表示物品就好，直接扒一段代码：

 

    for(i=1;i<=M;i++)
    {
        for(j=0;j<t[i];j++)
            f[i][j]=f[i-1][j];
        for(j=t[i];j<=T;j++)
            f[i][j]=max(f[i-1][j],f[i][j-t[i]]+p[i]);
    }

 

 #一维压缩

    这里才是我真正遇到的问题，话不多说先上一段代码：

 

 for(i=1;i<=M;i++){
        for(j=t[i];j<=T;j++)
            f[j]=max(f[j],f[j-t[i]]+p[i]);
}

 

　　可以看见的是，这段代码与普通的背包几乎一样，只不过是运行背包的顺序反了一下，

就是这里让我想了一会，神犇们的题解一上来就是状态转移方程的各种变形，看的我头都掉了，

多亏了大佬的指点。

　　抽象的理解一下，在普通背包的代码

 

  for(i=1;i<=M;i++){
         for(j=T;j>=t[i];j--)
             f[j]=max(f[j],f[j-t[i]]+p[i]);
 }

 

 

 　　里面，递推的顺序是从容量大的背包情况下开始的，也就是说，在遍历到容量为j的背包时，

会选择在j-t[i]也就是上一个背包中放不放，最后只改变了当前情况下的背包，在这一种物品时，

j背包的情况只可能从上一个物品运算完后的背包到达，而当前的背包在这个物品中不可能再被选到，

所以一个物品最多放进一次；

　　而在完全背包的代码

 

 for(i=1;i<=M;i++)
        for(j=t[i];j<=T;j++)
            f[j]=max(f[j],f[j-t[i]]+p[i]);

 

 

里，顺序是从容量小的背包开始考虑的，也就是说，在考虑到j背包时，判断跟普通的背包一样，

都是放或不放的问题，但在容量小的背包做完后，在之后容量大的背包里还可能再次选到小容量的背包，

这就使的在同一个物品被放入当前背包后，之后的大背包在考虑到这个背包时，这个背包里就已经有过这个物品了；

这就是无限的放入一个物品了。

真是好神奇的动态规划。

不会状态转移方程式运算的我蒟蒻还是更偏向想象问题的模型啊，感谢GWX大师的帮助。