如何证明勾股定理a^2 + b^2 = c^2

某天看校友网，看到某个师兄说现在的高中教育不行，题目太死板，如果他出题，他会出一道题：如何证明勾股定理a^2 + b^2 = c^2 ？

 

当时我觉得这个题目很有意思，不过当时也懒得想。后来某天晚上刷牙的时候，突然想起来这个题目来，刷完牙在纸上画了画，搞定，然后安心睡觉。现在离那时有些日子了，在此记录一下证明过程。

 

 

如图：正方形ABCD，AE=BF=CG=DH, 证明AH^2 + AE^2 = EH^2.

 

证明：为了方便起见，设AE=a，AH=b， EH=c。

因为ABCD是正方形，且AE=BF=CG=DH=a，则 EB=FC=GD=HA=b，

因为正方形四个角都是直角，所以三角形HAB，EBF，FCG，GDH全等(角和两个夹边相等)，所以他们的斜边都相等，即HE=EF=FG=GH=c。

同时角AHE等于角FEB，角AEH加角EHA等于直角，所以角HEF是直角，同理角EFG，角FGH，角GHE都是直角。

所以四边形EFGH的四条边相等，四个角都是直角，是正方形。

 

正方形ABCD的面积等于四个小三角形的面积加上中间正方形的面积，根据正方形面积公式和直角三角形面积公式，有：

(a+b)^2 = 4*0.5*a*b + c^2，从而a^2 + b^2 = c^2.