[FZYZOJ 1600] [NOIP福建夏令营]台阶问题

P1600 -- [NOIP福建夏令营]台阶问题

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Description

有 N 级的台阶,你一开始在底部,每次可以向上迈最多 K 级台阶(最少 1 级),问到达第 N 级台阶有多少种不同方式。

Input Format

输入的仅包含两个正整数 N,K。

Output Format

输入仅包括 1 个正整数,为不同方式数,由于答案可能很大,你需要输出mod 100003 后的结果。

Sample Input

5 2

Sample Output

8

Hint

对于 20%的数据,有 N ≤ 10, K ≤ 3;

对于 40%的数据,有 N ≤ 1000;

对于 100%的数据,有 N ≤ 100000,K ≤ 100。

【题解】

首先，设f[i]为走到i的走法数量。

那么到i的方案一定是由(i-k)~(i-1)这之中的所有方案构成（因为这中间的每一级都可以一次跨到i这个台阶）

那么f[i]=sigma{f[i-j]} (0<=j<=k) f[0]=1;

那么我们有了第一份代码，实际上已经可以AC了。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int f[100001],n,k;
int main() {
    scanf("%d%d",&n,&k);
    f[0]=1;
    for (int i=1;i<=n;++i) {
        for (int j=1;j<=i&&j<=k;++j)
            f[i]+=f[i-j], f[i]%=100003;
        f[i]%=100003;
    }
    printf("%d\n",f[n]);
    return 0;
}

我们看到，时间复杂度为O(NK),10000000,还是可以过的。

我们发现，可以进行优化。

设一个变量sum表示前缀和进行优化，注意如果i>k的时候，我们需要的不是0...i的所有前缀和！

我们需要的只是部分的前缀和，所以要减去前面的，注意可能出现负数，加上后取模。

那么，f[i]=sum，sum=(sum+f[i]-f[i-k-1]+MOD)%MOD (i>k)  

那么，即可发现，时间复杂度优化到O(N)

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int f[100001],n,k,sum=0;
int main() {
    scanf("%d%d",&n,&k);
    f[0]=1;
    for (int i=1;i<=n;++i) {
        if(i>k) {
            sum-=f[i-k-1];
            sum=(sum+100003)%100003;
        }
        sum+=f[i-1];sum%=100003;
        f[i]=sum;
    }
    printf("%d\n",f[n]);
    return 0;
}

这两份代码，在评测机上评测的时间分别为 0.358s和0.009s，说明优化也是非常重要的。