P1220 关路灯

P1220 关路灯

题目描述
某一村庄在一条路线上安装了n盏路灯，每盏灯的功率有大有小（即同一段时间内消耗的电量有多有少）。老张就住在这条路中间某一路灯旁，他有一项工作就是每天早上天亮时一盏一盏地关掉这些路灯。

为了给村里节省电费，老张记录下了每盏路灯的位置和功率，他每次关灯时也都是尽快地去关，但是老张不知道怎样去关灯才能够最节省电。他每天都是在天亮时首先关掉自己所处位置的路灯，然后可以向左也可以向右去关灯。开始他以为先算一下左边路灯的总功率再算一下右边路灯的总功率，然后选择先关掉功率大的一边，再回过头来关掉另一边的路灯，而事实并非如此，因为在关的过程中适当地调头有可能会更省一些。

现在已知老张走的速度为1m/s，每个路灯的位置（是一个整数，即距路线起点的距离，单位：m）、功率（W），老张关灯所用的时间很短而可以忽略不计。

请你为老张编一程序来安排关灯的顺序，使从老张开始关灯时刻算起所有灯消耗电最少（灯关掉后便不再消耗电了）。

\(n \leq 50\)

Solution

\(dp[i][j][0/1]\) 表示关完 \([i, j]\) 范围内的所有灯， 最终处于 左 / 右 端点消耗电量的最小值

试想：我们现在处于某个位置， 下一个灯要么关掉旁边亮着的灯， 要么折回去关掉最那边亮着的灯
所以倒推一下， 一盏灯准备被关闭， 要么从旁边刚关完的灯一格过来关， 要么从最远关掉灯的位置转过头来关

所以写出dp方程：$$dp[i][j][0] = min(dp[i + 1][j][0] + cal(x1), dp[i +1][j][1] + cal(x2))$$其中 \(cal(x1), cal(x2)\) 分别表示从上一个关灯位置走过来期间消耗的电量
同理： $$dp[i][j][1] = min(dp[i][j - 1][1] + cal(x3), dp[i][j - 1][0] + cal(x4))$$
其中对于消耗电量函数， 我们可以用前缀和计算出区间亮灯的耗电量， 模拟一下 乘以时间即可

转移顺序是这题的难点
边界很好确定， 即初始电量为 \(0\) ： \(dp[s][s][0] = dp[s][s][1] = 0\)
观察我们的状态转移方程， 发现有关 \(i\) 的都从 \(i +1\) 转移来， 有关 \(j\) 的都从 \(j - 1\) 转移来， 这提示我们 i 倒序转移， j 正序转移 来转移

Code

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<queue>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<climits>
#define LL long long
#define REP(i, x, y) for(int i = (x);i <= (y);i++)
using namespace std;
int RD(){
    int out = 0,flag = 1;char c = getchar();
    while(c < '0' || c >'9'){if(c == '-')flag = -1;c = getchar();}
    while(c >= '0' && c <= '9'){out = out * 10 + c - '0';c = getchar();}
    return flag * out;
    }
const int maxn = 119;
int num, s;
int p[maxn], w[maxn];
int sum[maxn];
int cal(int p1, int p2, int s1, int s2){
	return abs(p2 - p1) * (s1 + s2);
	}
int dp[maxn][maxn][2];
int main(){
	num = RD(), s = RD();
	REP(i, 1, num)p[i] = RD(), w[i] = RD(), sum[i] = sum[i - 1] + w[i];
	memset(dp, 127, sizeof(dp));
	dp[s][s][0] = dp[s][s][1] = 0;
	for(int i = s;i >= 1;i--){
		for(int j = s;j <= num;j++){
			if(i == s && j == s)continue;
			dp[i][j][0] = min(
			dp[i + 1][j][0] + cal(p[i + 1], p[i], sum[i], sum[num] - sum[j]), 
			dp[i + 1][j][1] + cal(p[j],     p[i], sum[i], sum[num] - sum[j])
			);
			dp[i][j][1] = min(
			dp[i][j - 1][1] + cal(p[j], p[j - 1], sum[i - 1], sum[num] - sum[j - 1]), 
			dp[i][j - 1][0] + cal(p[j], p[i]    , sum[i - 1], sum[num] - sum[j - 1])
			);
			}
		}
	printf("%d\n", min(dp[1][num][0], dp[1][num][1]));
	return 0;
	}