U40620 还没想好名字的题

U40620 niiickの还没想好名字的题

给定一个长度为\(n\)的序列\(a_1,a_2...,a_n\)

要求将这\(n\)个数分为\(m\)组，每组可以有任意多个数，但同一组中的数必须是原序列中连续的一段

求如何分组能使得各组的标准差最小，
即求$$min(\sqrt{\sum_{i=1}^{m\frac{(x_i-\overline{x})}2}{m}})$$其中\(x_i\)为第\(i\)组数的和，\(\overline{x}\)为各组数和的平均值

求这个最小值

---

纪念一下交了19遍（不是因为debug）

---

Solution

我们先考虑这个部分 \(\sum_{i = 1}^{m}(x_{i} - \overline{x}) ^ {2}\)
设 \(dp[i][j]\) 表示考虑前 \(i\) 个数， 分成 \(j\) 个部分的最小值
类似区间\(dp\)， 我们暴力枚举断点计算多分一组， 即大区间的答案
状态转移方程见代码

Code

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<queue>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<climits>
#include<cmath>
#define LL long long
#define REP(i, x, y) for(int i = (x);i <= (y);i++)
using namespace std;
int RD(){
    int out = 0,flag = 1;char c = getchar();
    while(c < '0' || c >'9'){if(c == '-')flag = -1;c = getchar();}
    while(c >= '0' && c <= '9'){out = out * 10 + c - '0';c = getchar();}
    return flag * out;
    }
const int maxn = 419;
int num, m;
double dp[maxn][maxn], sum[maxn], ave;
int main(){
	num = RD(), m = RD();
	REP(i, 1, num)sum[i] = sum[i - 1] + RD();
	ave = sum[num] / (m * 1.0);
	REP(i, 0, num)REP(j, 0, m)dp[i][j] = 1e19;
	dp[0][0] = 0;
	REP(i, 1, num){
		REP(j, 1, min(i, m)){
			REP(k, 0, i - 1){
				dp[i][j] = min(dp[i][j], 
				dp[k][j - 1] + ((sum[i] - sum[k] - ave) * (sum[i] - sum[k] - ave)));
				}
			}
		}
	printf("%.2lf\n", sqrt(dp[num][m] / (double)m));
	return 0;
	}