T48566 【zzy】yyy点餐

T48566 【zzy】yyy点餐

题目描述
yyy去麦肯士吃垃圾食品。

麦肯士有n种单点餐品（汉堡薯条鸡翅之类的）。每次选择一种或者以上的餐点，且每种餐点不多于一个的话，可以认为是购买套餐。购买一个套餐，价格是单品价格的总和（真黑啊），但是可以送一个玩具，yyy最喜欢麦肯士的玩具了。不过有规定即使多次购买同一种套餐（也就是里面的餐点的种类和数量完全一样）也只能获得一个玩具。

yyy为了收集尽可能多的玩具，需要买尽可能多种的套餐。请问如果想要收集到最多的玩具数量，至少要花掉多少钱？由于yyy是个土豪，所以我们需要输出ans mod 998244353的结果。

说明
【样例解释】

1 / 2 / 3 / 4 / 5
12 / 13 / 14 / 15
23 / 24 / 25
34 / 35 / 45/ 
123 / 124 / 125 / 134 / 135 / 145
234 / 235 / 245
345
1234 / 1235 / 1245 / 1345 / 2345
12345

1≤n≤1000000

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错误日志： 输出的时候忘记模了QAQ

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Solution

设 \(tot\) 为所有单点餐品的总花费和
显然当套餐内单品数量为 \(k\) 时， 这一组套餐总共会花费 \(C_{n}^{k} * k * tot * \frac{1}{n}\)
那么总答案即为：

\[ans = tot * \frac{1}{n}\sum_{k = 1}^{n}C_{n}^{k} * k \]

组合数可以用二项式定理展开求得， 难搞的是每一项要乘个 \(k\)
于是尝试把 \(k\) 弄出来

\[\sum_{k = 1}^{n}C_{n}^{k} * k$$$$=\sum_{k = 1}^{n}C_{n}^{k} * k + 0$$$$=\sum_{k = 1}^{n}C_{n}^{k} * k + C_{n}^{1} * 0$$$$=\sum_{k = 0}^{n}C_{n}^{k} * k \]

通式不好说明， 以 \(n = 5\) 为例：

\[\sum_{k = 0}^{5}C_{5}^{k} * k$$$$= C_{5}^{0} * 0 + C_{5}^{1} * 1 + C_{5}^{2} * 2 + C_{5}^{3} * 3 + C_{5}^{4} * 4 + C_{5}^{5} * 5$$$$=\frac{1}{2}(C_{5}^{0} * 0 + C_{5}^{0} * 0 + C_{5}^{1} * 1 + C_{5}^{1} * 1 + C_{5}^{2} * 2 + C_{5}^{2} * 2 + C_{5}^{3} * 3 + C_{5}^{3} * 3 + C_{5}^{4} * 4 + C_{5}^{4} * 4 + C_{5}^{5} * 5 + C_{5}^{5} * 5)$$$$=\frac{1}{2}(C_{5}^{0} * 0 + C_{5}^{5} * 5 + C_{5}^{1} * 1 + C_{5}^{4} * 4 + ... + C_{5}^{5} * 5 + C_{5}^{0} * 0)$$$$=\frac{1}{2} * 5\sum_{k = 0}^{5}C_{5}^{k} \]

将此式带入总答案式， 用通式加二项式定理表达为：

\[ans = tot * \frac{1}{n}\sum_{k = 0}^{n}C_{n}^{k} * k$$$$=tot * \frac{1}{n} * \frac{1}{2} * n\sum_{k = 0}^{n}C_{n}^{k}$$$$ = tot * \frac{1}{2} * 2^{n}$$$$=tot * 2^{n - 1} \]

快速幂即可

Code

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<queue>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<climits>
#define LL long long
#define REP(i, x, y) for(LL i = (x);i <= (y);i++)
using namespace std;
LL RD(){
    LL out = 0,flag = 1;char c = getchar();
    while(c < '0' || c >'9'){if(c == '-')flag = -1;c = getchar();}
    while(c >= '0' && c <= '9'){out = out * 10 + c - '0';c = getchar();}
    return flag * out;
    }
const LL M = 998244353;
LL num, tot;
LL Q_pow(LL a, LL p, LL mod){
	LL ret = 1;
	while(p){
		if(p & 1)ret = ret * a % mod;
		a = a * a % mod;
		p >>= 1;
		}
	return ret;
	}
int main(){
	num = RD();
	REP(i, 1, num)tot = (tot + RD()) % M;
	printf("%lld\n", tot * Q_pow(2, num - 1, M) % M);
	return 0;
	}