P2014 选课

P2014 选课

题目描述
在大学里每个学生，为了达到一定的学分，必须从很多课程里选择一些课程来学习，在课程里有些课程必须在某些课程之前学习，如高等数学总是在其它课程之前学习。现在有N门功课，每门课有个学分，每门课有一门或没有直接先修课（若课程a是课程b的先修课即只有学完了课程a，才能学习课程b）。一个学生要从这些课程里选择M门课程学习，问他能获得的最大学分是多少？

Solution

挖了好久的坑啊终于搞懂填上了
经典的树上背包
我们以此题为例， 和背包问题做一个类比

首先我们明确一下最后这颗树会变成什么样
把不要的部分删掉， 我们发现最后居然还是一颗树， 并且这棵树没有被肢解分开
可以自己画个图理解一下

好了上面其实没什么东西。。， 助消化而已
类比：
对于一个节点 \(u\) 的子节点（或者叫做以 \(v\) 为根的子树， 大小为 \(t\)） \(v\) ， 若是我们想在这颗子树中选一段放入背包（先不考虑背包大小限制）， 那么我们有 \(t +1\) 种方案， 即：
选择体积为 \(0, 1, 2, ..., t\) 的子树， 且选择互斥（不能又选大小为 \(2\) 的又选大小为 \(1\) 的）
然后抽象到背包上：
\(u\) 的每颗子树 \(v\) ---> 每组物品
\(v\) 中体积为 \(0, 1, 2, ..., t\) 的子树 ---> 组内物品
典型的分组背包模型

在本题中， 因为可能存在森林， 我们添加一个虚节点 \(0\) 总根， 处理的时候分情况讨论即可
细节注释中

Code

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<queue>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define LL long long
#define REP(i, x, y) for(int i = (x);i <= (y);i++)
using namespace std;
int RD(){
    int out = 0,flag = 1;char c = getchar();
    while(c < '0' || c >'9'){if(c == '-')flag = -1;c = getchar();}
    while(c >= '0' && c <= '9'){out = out * 10 + c - '0';c = getchar();}
    return flag * out;
    }
const int maxn = 100019,INF = 1e9 + 19;
int head[maxn],nume = 1;
struct Node{
    int v,dis,nxt;
    }E[maxn << 3];
void add(int u,int v,int dis){
    E[++nume].nxt = head[u];
    E[nume].v = v;
    E[nume].dis = dis;
    head[u] = nume;
    }
int num, m;
int v[maxn];
int dp[maxn][319];
int dfs(int u, int F){
	int size = 1;
	dp[u][0] = 0;
	for(int i = head[u];i;i = E[i].nxt){
		int v = E[i].v;
		if(v == F)continue;
		int t = dfs(v, u);//t为这组物品的物品数
		size += t;
		for(int j = m;j >= 0;j--){//枚举体积
			REP(k, 0, t){//枚举组内物品, 即体积为0, 1, 2, 3 ,... t的物品
				if(j >= k)
					dp[u][j] = max(dp[u][j], dp[u][j - k] + dp[v][k]);
				}
			}
		}
	if(u)
		for(int i = min(size, m);i >= 1;i--)
			dp[u][i] = dp[u][i - 1] + v[u];//自己必选，倒叙防止v[u]累计
	return size;
	}
int main(){
	num = RD(), m = RD();
	REP(i, 1, num){
		int pre = RD(), score = RD();
		v[i] = score;
		add(i, pre, 1), add(pre, i, 1);
		}
	dfs(0, -1);
	printf("%d\n", dp[0][m]);
	return 0;
	}